Фізика. Рівень стандарту. 10 клас. Головко

§ 25. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

• Середня квадратична швидкість
• Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

СЕРЕДНЯ КВАДРАТИЧНА ШВИДКІСТЬ. Як нам уже відомо молекули здійснюють безперервний, хаотичний (тепловий) рух, а це означає, що швидкість руху будь-якої молекули може бути як надзвичайно великою, так і малою. Напрямок руху молекул постійно змінюється під час їх зіткнень одна із одною. Проте середнє значення їхнього модуля швидкості — певна фіксована величина. Щоб її визначити, треба додати значення швидкості всіх молекул і поділити суму на їх кількість. Але надалі нам буде потрібно знати середнє значення не самої швидкості, а квадрата швидкості, оскільки від цієї величини залежить середня кінетична енергія руху молекул, що, як ми незабаром переконаємося, має велике значення в усій молекулярно-кінетичній теорії.

Отже, середній квадрат швидкості¹ дорівнює:

де v₁, v₂, ... v_n — модулі швидкостей окремих молекул; N — їх кількість.

¹ Надалі середні значення величин ми будемо позначати рискою над буквеним символом величини.

Середня квадратична швидкість є характеристикою хаотичного невпорядкованого руху молекул, тому її ще називають тепловою. Її значення для газів досить великі. Середня квадратична швидкість молекул азоту при t = 0 °С приблизно дорівнює 500 м/с, а молекул водню — 1800 м/с.

Коли вперше обчислили ці величини (друга половина XIX ст.), то результат приголомшив багатьох фізиків і вони висловили сумніви щодо істинності молекулярно-кінетичної теорії. Адже відомо, що запахи поширюються доволі повільно: потрібні десятки секунд, щоб пахощі парфумів, розлитих в одному кутку кімнати, досягли іншого. Зрозуміло, що пояснити цей факт можна великою кількістю зіткнень між молекулами.

Нехай усередині посудини, площа стінки якої S, міститься ідеальний одноатомний газ з молекулами масою m₀ кожна, які хаотично рухаються із швидкостями v_i. Результати експерименту свідчать, що за незмінної температури посудини і газу в ній середнє квадратичне значення швидкості руху молекул газу може бути визначено за формулою:

Мал. 25.2. Молекули ідеального газу взаємодіють із стінками ємності за законами механіки

Якщо швидкість руху молекули напрямлена під довільним кутом до стінки, то зміна проекції її імпульсу вздовж осі Ох дорівнює: FΔt = 2m₀v_х. Щоб обчислити імпульс сили, що діє на стінку з боку молекул, необхідно підрахувати кількість їх зіткнень зі стінкою за час Δt. За цей час стінки посудини можуть досягти лише ті молекули, які перебувають в об’ємі V = Sv_xΔt.

Оскільки в цьому об’ємі відповідно до теорії ймовірності половина молекул рухається до стінки, а інша — від неї, то кількість молекул Ζ, які вдаряться об стінку за час Δt, дорівнюватиме:

Підставивши значення об’єму V у вираз для кількості молекул Ζ, одержимо рівняння:

Отже внаслідок пружного зіткнення із стінкою ємності, молекула передає їй імпульс:

Після спрощень сила F, з якою діють молекули на стінку площею S, дорівнює:

F = m₀v_x²nS.

Абсолютна температура — фізична скалярна величина, яка визначається середньою кінетичною енергією хаотичного поступального руху молекул.

p = nkT,

де p — тиск газу; n — концентрація молекул ідеального газу; k — стала Больцмана; Т — абсолютна температура газу.

Основне рівняння МКТ газів підтверджує той факт, що чим більші маса молекул і їхні швидкості, а також концентрація, тим більший тиск вони чинять на стінки посудини.

В основному рівнянні МКТ газів установлюється зв’язок між легко вимірюваними величинами макроскопічного параметра тиску й мікроскопічними параметрами, такими як маса однієї молекули і їх концентрація.

Головне в цьому параграфі

Середня квадратична швидкість є характеристикою хаотичного невпорядкованого руху молекул газу.

Рівняння, що пов’язує мікроскопічні параметри молекул з макроскопічним тиском, називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів.

Запитання для самоперевірки

• 1. Яка швидкість називається середньою квадратичною?
• 2. Запишіть і поясніть фізичний зміст основного рівняння МКТ.
• 3. Як записується основне рівняння МКТ через середній квадрат швидкості молекул газу і його густину?
• 4. Які особливості основного рівняння МКТ і чому його називають основним?

Вправа до § 25

1(с). Укажіть, як зміниться середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу при збільшенні його концентрації в 2 рази, якщо середня квадратична швидкість руху молекул газу залишається незмінною? Виберіть правильну відповідь.

• А Зменшиться у 2 рази.
• Б Збільшиться у 2 рази.
• В Залишиться незмінною.
• Г Збільшиться у 4 рази.

2(с). Мікроскопічними параметрами називають величини, які характеризують стан:

• А Макроскопічних тіл без урахування їхньої молекулярної будови.
• Б Макроскопічних тіл із урахуванням їхньої молекулярної будови.
• В Окремих частин макроскопічних тіл із урахуванням їхньої молекулярної будови.
• Г Будь-яких фізичних тіл.

3(с). У першій посудині міститься водень, у другій — така сама кількість молекул кисню. Порівняйте тиски газів на стінки посудини, якщо її об’єм і температура газів однакові.

• А p₁ = 16p₂
• Б р₂ = 16p₁
• В p₁ = p₂
• Г p₁ = 4p₂

4(д). У скільки разів зміниться тиск ідеального газу при зменшенні його об’єму вдвічі і збільшенні середньої кінетичної енергії молекул у 3 рази? Маса газу залишилася незмінною.

• А Збільшиться в 3 рази
• Б Збільшиться у 6 разів.
• В Збільшиться у 1,5 раза.
• Г Збільшиться у 2 рази.

5(д). Визначте середню квадратичну швидкість руху молекул газу, що має масу 3 кг і займає об’єм 5 м³ під тиском 100 кПа.

• А 600 м/с
• Б 723 м/с
• В 707 м/с
• Г 750 м/с

6(д). У скільки разів зміниться тиск одноатомного газу внаслідок збільшення його об’єму в 3 рази і середньої кінетичної енергії молекул — у 2 рази?

7(в). Суміш газів складається з 50 г молекул азоту і певної кількості молекул вуглекислого газу. Молярна маса суміші становить 35 г/моль. Визначте масу вуглекислого газу в суміші.