Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 3. Прямолінійний рівноприскорений рух. Вільне падіння

1. Що таке прискорення та прямолінійний рівноприскорений рух

• Прискорення дорівнює відношенню зміни швидкості руху тіла до проміжку часу, за який відбулася ця зміна.

Прискорення в природі та техніці

Прискорення	Величина
руху Землі навколо Сонця	6 мм/с2
парашутиста під час розкривання парашута	80 м/с2
білизни під час віджимання в пральній машині	1 км/с2
вільного падіння: на астероїді Каліпсо на поверхні Сонця на поверхні нейтронної зорі	3 см/с2 270 м/с2 1012 м/с2

Прямолінійний рівноприскорений рух є найпростішим із нерівномірних рухів. Нагадаємо, що рух транспортних засобів під час розгону або гальмування практично завжди можна вважати рівноприскореним. Це стосується поїзда та мотоцикла, літака на злітній смузі та ліфта перед зупинкою тощо.

У проекції на вісь Ох ця формула набуває вигляду

v_x = v_0x + a_xt. (2)

Отже, проекція швидкості руху тіла лінійно залежить від часу (значення v_0х і а_х є сталими величинами). Залежно від знаків v_0х і а_х проекція швидкості руху може збільшуватися або зменшуватися з часом (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Різні випадки прямолінійного рівноприскореного руху

2. Переміщення під час прямолінійного рівноприскореного руху

Розгляньмо приклад прямолінійного рівноприскореного руху (рис. 3.2). Ви вже знаєте: проекцію переміщення тіла за час t можна знайти як площу фігури під графіком v_x(t). У даному випадку ця фігура — трапеція.

Рис. 3.2. Виводимо формулу переміщення під час прямолінійного рівноприскореного руху

Скористаємося формулою для площі трапеції, відомою вам із курсу геометрії 8 класу:

Звідси легко отримати просту формулу для проекції середньої швидкості:

Підставивши вираз v_x = v_0x + a_xt, отримаємо інший вираз для проекції переміщення:

Отже, залежність s_x від часу є квадратичною, а графік цієї залежності — парабола. Отримані формули є справедливими і в тому випадку, коли графік v_x(t) перетинає вісь Ох (тобто коли v_0х і а_х мають різні знаки).

У багатьох задачах зручно мати вираз s_x, що не містить безпосередньо часу (тобто вираз s_x через початкову і кінцеву швидкості та прискорення). Щоб виключити час з формули (3), знайдемо його з формули (2) та підставимо:

Координату тіла в будь-який момент можна визначити за формулою x = x₀ + s_x. Залежність x(t) координати від часу є квадратичною:

Розгляньмо тепер важливий приклад прямолінійного рівноприскореного руху.

3. Вільне падіння

З часів давньогрецького філософа Арістотеля панувала думка, що більш важкі тіла падають швидше, ніж легші. Це твердження певною мірою відповідає нашому життєвому досвіду. Адже якщо з високого берега одночасно почнуть падати камінець і клаптик паперу, то камінець значно швидше сягне поверхні води.

Протягом двох тисячоліть ніхто навіть не висловлював сумнівів щодо твердження Арістотеля. Проте наприкінці XVI століття було доведено, що це твердження не є справедливим у загальному випадку. За легендою, не хто інший, як Ґ. Ґалілей, відпускав зі знаменитої похилої Пізанської вежі гарматне ядро масою 80 кг і мушкетну кулю масою близько 200 г. Глядачі могли переконатися, що обидва тіла падають практично одночасно (різниця в часі падіння була майже непомітною).

Ґалілей зробив висновок, що й ця невелика різниця в часі пояснюється дією повітря. Чим більша маса тіла, тим меншим є вплив на нього опору повітря. Тому час падіння є однаковим, якщо обидва тіла достатньо масивні та впливом опору повітря можна знехтувати.

Фактично Ґалілей першим розглянув випадок вільного падіння. Так називають падіння у вакуумі, якому ніщо не заважає. Учений не міг реально спостерігати падіння тіл у вакуумі: за його життя не були ще створені помпи, здатні відкачати повітря на шляху тіла, що падає. Такі помпи з’явилися дещо пізніше, що дало можливість І. Ньютону здійснити ефектний дослід (рис. 3.3): спостерігати падіння масивної монети та легкого пташиного пера в довгій скляній трубці, де практично не було повітря. Час падіння обох тіл був однаковим.

Рис. 3.3 . Падіння тіл у трубці Ньютона: а — трубка містить повітря; б — повітря немає

Незважаючи на всі складнощі вимірювань, Ґалілей зумів дійти правильного висновку: швидкість тіла, що вільно падає, прямо пропорційна часу руху, а переміщення тіла — квадрату часу руху. Але ж саме такими є відповідні залежності для прямолінійного рівноприскореного руху тіл — див. формули (2) і (5) за умови v_0х = 0.

Під час вільного падіння без початкової швидкості

Коли сила опору повітря набагато менша від сили тяжіння (тобто коли масивне тіло падає в повітрі не дуже швидко), падіння тіла можна розглядати як вільне. Прикладами можуть бути падіння яблука з гілки або початковий етап руху парашутиста після стрибка з гелікоптера А от падіння дощової краплі біля поверхні Землі ніяк не можна вважати вільним: сила опору повітря, що діє на цю краплю, зрівноважує силу тяжіння, тому рух краплі не рівноприскорений, а рівномірний.

4. Вчимося розв'язувати задачі

Навколо фізики

2007 року студенти Харківського національного автомобільно-дорожнього університету та співробітники Лабораторії швидкісних автомобілів були запрошені взяти участь в Екологічному марафоні «Shell Есоmarathon». Для цього 2010 року було розроблено «ХАДІ-34» — найбільш енергоефективний автомобіль України з мінімальною витратою палива на 1 км (менше від 2 г). Довжина автомобіля — 2,9 м, максимальна швидкість руху — 60 км/год. Цей автомобіль міг би подолати відстань від Києва до Івано-Франківська, витративши 1 л палива.

Задача 2. На рис. 1 подано графік залежності ν_x(t) для руху тіла вздовж осі Ох. Опишіть характер руху, побудуйте графік залежності x(t). Початкова координата тіла х₀ = -12 м.

Рис. 1

Розв’язання. На першому етапі руху (протягом перших З с руху) графік прямолінійний, тобто залежність v_x(t) є лінійною, а рух — прямолінійним рівноприскореним. Положення початкової точки графіка свідчить, що v_0x = 0. Щосекунди проекція швидкості збільшується на 2 м/с; отже, а_х = 2 м/с².

На другому етапі руху (3c < t < 5 с) маємо v_x = 6 м/с, тобто рух є прямолінійним рівномірним.

На початку третього етапу руху (5c < t < 7 с) проекція швидкості дорівнює 6 м/с, рух на цьому етапі є прямолінійним рівноприскореним, а_х = -6 м/с². На проміжку часу 5 с < t < 6 с проекція швидкості є додатною, тобто тіло рухається в додатному напрямі. У момент t = 6 с швидкість дорівнює нулю (відбувається миттєва «зупинка»), після чого тіло починає рух у зворотному напрямі.

Щоб побудувати графік залежності x(t), скористаємося тим, що площа під графіком v_x(t) дорівнює проекції переміщення, тобто зміні Δx координати тіла. Відповідні фігури зафарбовано на рис. 2, а значення Δx наведено червоним.

Рис. 2

Урахуємо також, що першому та третьому етапам руху відповідають ділянки графіка x(t) у формі парабол, а другому етапу — прямолінійна ділянка. Вершини парабол відповідають моментам, коли v_x = 0 (це t₁ = 0 і t₂ = 6 с). Повний вигляд графіка x(t) наведено на рис. 3 (ділянки графіка, що відповідають різним етапам руху, виділено різними кольорами).

Рис. 3

Звернімо увагу: сусідні ділянки графіка переходять одна в одну плавно, без зламів. Саме так і має бути, тому що злам означав би миттєву зміну швидкості.

Підбиваємо підсумки

Для розв’язання задач на прямолінійний рівноприскорений рух треба навчитися аналізувати умову задачі та вибирати найзручнішу формулу (або формули) з наведених вище.

Контрольні запитання

1. Що таке прискорення? 2. Який рух називають прямолінійним рівноприскореним? 3. Як залежать від часу швидкість руху та переміщення тіла під час прямолінійного рівноприскореного руху? 4. За яких умов падіння тіла можна вважати вільним?

Вправа № 3

1. Визначте прискорення руху велосипедиста, якщо протягом 4 с він збільшив швидкість руху від 3 до 11 м/с.

2. На початку крутого спуску автомобіль мав швидкість 7 м/с. Визначте швидкість руху автомобіля та пройдений ним шлях через 10 с, якщо прискорення автомобіля на спуску дорівнювало 0,5 м/с² (рух автомобіля пришвидшувався).

3. Скільки часу триває вільне падіння з висоти 45 м? 720 м? Уважайте, що g = 10 м/с².

4. Якої швидкості набирало б тіло внаслідок вільного падіння з висоти 320 м? Уважайте, що g = 10 м/с².

5. Після зупинки на перехресті автомобіль рушає з місця. Через 10 с він набирає швидкості руху 54 км/год. Визначте прискорення руху автомобіля.

6. Дівчинка та хлопчик, що стояли на високому мості, одночасно кинули дві кулі: першу — вгору, а другу — вниз. Початкові швидкості обох куль за модулем дорівнювали 15 м/с. Визначте інтервал часу між падіннями куль у воду. Опір повітря не враховуйте, уважайте g = 10 м/с².

7. Під час гальмування модуль прискорення поїзда дорівнював 0,2 м/с², а швидкість руху зменшилася від 23 до 17 м/с. Скільки часу тривало гальмування та який шлях пройшов поїзд за цей час?

8. Визначте за графіком (див. рисунок) прискорення руху тіла в момент 6 с і модуль його переміщення за 8 с.

9. У початковий момент тіло було нерухомим. Воно почало рухатися вздовж осі Ох: перші 3 с — з прискоренням а_х = 2 м/с², наступні 3 с — прямолінійно рівномірно, іще 3 с — з прискоренням а_х = -2 м/с². Накресліть графіки залежностей v_x(t) і s_x(t) для даного руху.

10. Для двох тіл, що рухаються вздовж осі Ох, залежності координат від часу мають вигляд х₁(t) = 3 + 2t - t² і x₂(t) = 4 - 2t + 0,5t² (усі величини подано в одиницях СІ). Запишіть формули залежностей vx(t) для обох тіл і побудуйте відповідні графіки.

11. Визначте за графіком (див. рисунок) модуль середньої швидкості руху тіла: а) за перші 4 с руху; б) за 8 с руху.

Експериментальне завдання

Здійсніть (наприклад, за допомогою мобільного телефону) відеозапис руху кількох автомобілів перед зупинкою на перехресті та після початку руху. Скориставшись отриманими записами, визначте прискорення руху автомобілів на різних етапах їх руху.

Фізика і техніка в Україні

Корольов Сергій Павлович

(1907-1966)

Український радянський учений у галузі ракетобудування та космонавтики.

Конструктор, космічної техніки, визнаний основоположником практичної космонавтики. Очолював ракетну програму СРСР.

Під його керівництвом було запущено першу міжконтинентальну балістичну ракету та перший штучний супутник Землі, здійснено перший політ людини в космос та вихід людини у відкритий космос, створено перші космічні апарати серій «Луна», «Венера», «Марс», а також проект космічного корабля «Союз».

С. П. Корольов народився в Житомирі, здобув середню освіту в Одесі. Там же захопився планеризмом і авіацією. Після завершення вищої освіти працював у Москві над створенням і вдосконаленням ракетних двигунів. Радянські реалії тих років не оминули вченого — 1938 року він був заарештований та засуджений, відбував покарання на Колимі. Суворі допити та тяжкі умови життя вкрай підірвали його здоров’я. Тільки 1944 року Корольова достроково звільняють, а невдовзі призначають головним конструктором балістичних ракет. За життя його ім’я було глибоко засекреченим, але його досягненням захоплено аплодувало все людство.