Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 4. Рух тіла, кинутого горизонтально або під кутом до горизонту*

1. Встановлюємо загальні закономірності руху

Такий рух можна розглядати як «суму» рухів по горизонталі та вертикалі, тобто вздовж осей Ох і Оу (рис. 4.1). Оскільки g_x = 0, рух по горизонталі є рівномірним (у будь-який момент v_x = ν_0x ), а рух по вертикалі — рівноприскореним (у будь-який момент v_y = v_0y + g_yt = v_0y - gt). Модуль повної швидкості руху тіла

Рис. 4.1. Коли матеріальна точка М рухається під дією постійної сили тяжіння, проекція М_х цієї точки на вісь Ох рухається рівномірно, а проекція М_у на вісь Оу — рівноприскорено

* Ті, хто вивчали курс фізики 9 класу на поглибленому рівні, уже знайомі з матеріалом цього параграфа.

2. Рух тіла, яке кинули горизонтально

Якщо початкова швидкість тіла напрямлена горизонтально, то v_x = v_0x = v₀, v_y = v_0y - gt = -gt. Залежність координат тіла від часу має вигляд

Рух по вертикалі відбувається так само, як у випадку падіння без початкової швидкості (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Стробоскопічні зображення рухів двох кульок (рухи почалися одночасно): вільного падіння без початкової швидкості та руху з початковою швидкістю, напрямленою горизонтально. Обидві кульки в будь-який момент перебувають на однаковій висоті

Виключивши з останніх рівнянь t, отримаємо

Це рівняння параболи. З умови у = 0 знаходимо координату x = L точки падіння тіла на поверхню Землі:

Як бачимо, час падіння залежить тільки від початкової висоти. Дальність L польоту тіла по горизонталі пропорційна початковій швидкості та кореню квадратному з початкової висоти.

Проекції швидкості руху тіла та модуль швидкості можна знайти з формул рівноприскореного руху, проте зручніше буває скористатися законом збереження механічної енергії (ви знайомі із застосуванням цього закону з курсу фізики 9 класу).

3. Рух тіла, яке кинули під кутом до горизонту

Розгляньмо також випадок, коли тіло кидають з поверхні Землі (y₀ = 0) під кутом α до горизонту (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Рух тіла, яке кинули під кутом до горизонту

У цьому випадку v_0x = v₀cosα, v_0у = v₀sinα. Формули залежності проекцій швидкості та координат тіла від часу мають вигляд

Виразивши t через х, отримаємо квадратичну залежність у(х); отже, траєкторія руху тіла є параболою. Це, зокрема, означає: частини траєкторії, що відповідають руху вгору та руху вниз, є симетричними.

З останньої формули випливає, що за певної початкової швидкості v₀ максимальна дальність польоту досягається, коли sin2α = 1, тобто за умови α = 45°. Можна зробити й іще один висновок: якщо кут α замінити на 90° - α, то дальність польоту не зміниться (значення sin α і cos α просто «поміняються місцями»). Отже, тіло може пролетіти однакову відстань по горизонталі (та влучити в одну й ту саму точку), рухаючись однією з двох траєкторій (рис. 4.4, а). Вищу траєкторію називають навісною, а нижчу — настильною. Навісними траєкторіями рухаються, наприклад, випущені з міномета міни; тому вони можуть вражати цілі на закритих позиціях (зворотних схилах пагорбів тощо, рис. 4.4, б).

Рис. 4.4. Настильна та навісна траєкторії (а); навісні траєкторії руху мін (б)

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Хлопчик викинув із вікна на висоті h₀ = 5 м недогризок яблука, надавши йому початкової швидкості в горизонтальному напрямі. Недогризок влучив точно в урну, модуль його переміщення s = 13 м. Визначте початкову швидкість руху недогризка та напрям його руху перед падінням в урну. Опір повітря не враховуйте; уважайте, що g = 10 м/с².

Рис. 1

Рис. 2

Задача 2. Під час навчальної артилерійської стрільби перший снаряд влучив у мішень на відстані L = 8 км від гармати. Перед другим пострілом кут нахилу ствола до горизонту збільшили на 60°. Визначте початкову швидкість снарядів, якщо другий снаряд влучив у ту саму мішень, що й перший. Опір повітря не враховуйте; уважайте, що g = 10 м/с².

Розв’язання. Очевидно, що перший снаряд рухався настильною траєкторією, а другий — навісною, що відповідала такій самій дальності польоту. Якщо початкова швидкість першого снаряда утворювала кут α з горизонтом, то початкова швидкість другого — кут (90° - α). З умови випливає, що 90° - α = 60° + α, звідки α = 15°.

Підбиваємо підсумки

Контрольні запитання

1. Як залежать від часу проекції v_x, v_y швидкості руху тіла, що рухається під дією сили тяжіння поблизу поверхні Землі? 2. Чи залежить час руху до падіння тіла, яке кинули горизонтально, від значення початкової швидкості його руху? 3. Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло, щоб воно пролетіло якнайдалі (за відсутності опору повітря)?

Вправа № 4

Опір повітря не враховуйте. Уважайте, що g = 10 м/с².

1. Футболіст під час тренування ударом надав м’ячу швидкості 10 м/с під кутом 25° до горизонту. Під час другого удару з того самого місця спортсмен надав м’ячу такої самої за модулем швидкості в іншому напрямі, а м’яч влучив у ту саму точку футбольного поля. Під яким кутом до горизонту полетів м’яч після другого удару?

2. М’яч кинули в горизонтальному напрямі зі швидкістю 6 м/с з вікна на висоті 12,8 м. Початкова швидкість руху м’яча напрямлена перпендикулярно до стіни будинку. На якій відстані від будинку м’яч упав на землю?

3. Тіло, яке кинули з вікна хмарочоса в горизонтальному напрямі з висоти 240 м, перемістилося на 40 м у горизонтальному напрямі. З якої висоти треба кинути тіло з такою самою горизонтальною швидкістю, щоб воно перемістилося по горизонталі на 20 м?

4. Два камінці кинули одночасно з поверху будівлі в одному напрямі зі швидкостями 7 і 11 м/с. Визначте відстань між тілами через 2 с руху.

5. Тіло, що кинули з висоти 20 м у горизонтальному напрямі з початковою швидкістю 7,5 м/с, впало на землю. Визначте модуль переміщення тіла.

6. Футбольний м’яч після удару перебував у повітрі 6 с. На яку максимальну висоту він піднявся?

7. Камінець кинули з рівня поверхні Землі з початковою швидкістю 15 м/с під кутом 60° до горизонту. Визначте час його польоту, максимальну висоту та дальність польоту.

Експериментальне завдання

Дослідіть експериментально залежність дальності польоту тіла, яке кинули горизонтально, від початкової висоти. Для цього розробіть спосіб надання тілу однакової початкової швидкості в кожному з дослідів.