Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 27. Властивості твердих тіл. Теплове розширення

1. Анізотропія кристалів

Ми знаємо, що для розташування частинок у кристалах характерна наявність дальнього порядку (частинки утворюють кристалічні ґратки). Правильна зовнішня форма кристаликів солі або сніжинок є наслідком упорядкованої структури відповідних кристалів. А іншим наслідком, не так помітним на перший погляд, є анізотропія кристалів, тобто залежність їх фізичних властивостей від напряму. Інакше кажучи, анізотропна речовина може проявляти різні пружність і міцність залежно від напряму дії зовнішніх сил, по-різному пропускати електричний струм і світло в різних напрямах тощо.

Тією чи іншою мірою анізотропія властива всім кристалам. Чому саме кристалам? Проілюструємо це за допомогою рисунків двомірних (плоских) кристалів найпростішого типу, в яких центри частинок розташовані у вершинах квадратної сітки (рис. 27.1). Для порівняння розглянемо структуру відповідного аморфного тіла або рідини.

Рис. 27.1. До ілюстрації причин анізотропії кристалів. Схематичне зображення структури: а — кристала; б — речовини без дальнього порядку

Якщо позначити відстань між центрами найближчих сусідніх частинок у кристалі через а, то проведена з центра якоїсь частинки пряма 1 «зустрічає» атоми теж через відстань а, а прямі 2, 3 і 4 — відповідно через 2,2а, 1,4а і 4,1а. Як бачимо, відмінності досить значні. Вони впливають на передачу механічних взаємодій, поширення світла та протікання електричного струму в різних напрямах. А от у середовищі без дальнього порядку таких відмінностей немає, всі напрями рівноправні — як кажуть, таке середовище є ізотропним. Навіть ті відносно невеликі відмінності між напрямами 1-4, які видно на рис. 27.1, б, зумовлені наявністю ближнього порядку та практично зникнуть, якщо збільшити розмір частини середовища, яка розглядається.

Є кристали, анізотропія яких найбільш помітна. Це, наприклад, слюда, яка легко розшаровується в одному напрямі на тонкі пластинки, але виявляється міцною при спробі розірвати її в напрямі, перпендикулярному до цих пластинок. Це й графіт, кристалічну структуру якого показано на рис. 27.2.

Рис. 27.2. Будова кристала графіту: атоми Карбону утворюють правильні шестикутники в заштрихованих паралельних площинах, а відстань між сусідніми площинами у 2,4 разу перевищує відстань між сусідніми атомами в одній площині

Енергія зв’язку між сусідніми атомами однієї атомної площини в 10 разів більша, ніж між найближчими атомами з різних площин. Звідси й особливі механічні властивості графіту: певні шари легко ковзають один відносно одного, що дозволяє застосовувати графітове змащення для зменшення тертя та писати за допомогою олівця. Анізотропія проявляється й у інших властивостях графіту: електропровідності, теплопровідності та звукопроникності.

Річ у тім, що досі ми розглядали монокристали, а зазвичай маємо справу з полікристалами. Монокристал має «цільні» кристалічні ґратки. Але як у природі, так і в техніці під час кристалізації рідини (розплаву) найчастіше утворюються полікристали. Адже після охолодження до температури кристалізації (температури плавлення) кристалічні ґратки починають рости навколо певних (найчастіше випадкових) центрів кристалізації. Такими центрами можуть стати якісь домішки, бульбашки газу тощо. Навколо кожного такого центра ростуть «свої» кристалічні ґратки, які кінець кінцем охоплюють усю речовину. Але напрями кристалічних осей у різних ґратках не узгоджені, тому «цільні» кристалічні ґратки не утворюються (рис. 27.3). Полікристал складається з окремих дрібних кристалів (кристалічних зерен).

Рис. 27.3. Схематичне зображення будови полікристала, де жовтим показано межі кристалічних зерен (а); полікристал мідного купоросу (б)

Кожному окремому кристалічному зерну властива анізотропія, адже це маленький монокристал. Але кристалічні осі різних зерен у полікристалі напрямлені по-різному, їх напрями хаотично розподілені в просторі. Тому для полікристала, що містить велику кількість кристалічних зерен, усі напрями рівноправні. Годі й чекати в такому випадку анізотропії — полікристали ізотропні.

Щоб отримати штучний монокристал, треба забезпечити його зростання з якогось одного центра, а це потребує особливих умов (наприклад, високої чистоти матеріалу).

Зрозуміло, що анізотропними є не тільки монокристали. Природна анізотропія властива й матеріалам біологічного походження, зокрема деревині.

Навколо фізики

У світі зростає попит на штучно виготовлені монокристали сапфіру. Цей матеріал, що поступається твердістю тільки алмазу, застосовують і для екранів мобільних телефонів, і для ілюмінаторів космічних кораблів, і в медицині (в імплантах для суглобів). Крім того, сапфір є основою для світлодіодів високої яскравості. Щоб виростити одну сапфірову пластинку завдовжки 15-20 см, потрібно 12 годин. Українські фахівці не тільки розробляють сучасні технології вирощування монокристалів сапфіру, а й виготовляють відповідне обладнання.

2. Механічні властивості твердих тіл

Часто доводиться чути, що тверді тіла зберігають об’єм і форму. Слід правильно розуміти це твердження: абсолютно тверде тіло — це спрощена модель, реальні ж тверді тіла можуть змінювати форму та об’єм (деформуватися), хоч зазвичай і не дуже сильно (під дією зовнішніх сил або внаслідок зміни температури).

Механічні властивості твердих тіл характеризують їх здатність опиратися деформації та руйнуванню під дією зовнішніх сил.

Деформації твердих тіл можуть бути досить складними. Деякі з видів деформацій наведено в табл. 27.1.

Таблиця 27.1

Види деформацій

Деформації показано схематично, насправді вони складніші. Наприклад, на рис. 27.4 показано вигляд стрижня, що зазнає деформації розтягнення.

Рис. 27.4. Під час розтягання змінюються й поперечні розміри стрижня

Доведено, що будь-яку деформацію можна розглядати як комбінацію двох основних: розтягнення (стиснення) та зсуву. Наприклад, показаний у таблиці вигин зводиться до розтягнення нижньої частини тіла та стиснення верхньої (посередині є нейтральна зона, яка практично не зазнає ані розтягання, ані стискання). Надалі ми обмежимося тільки розглядом розтягнення та стиснення.

Усі деформації розділяють на пружні та пластичні. Пружною називають деформацію, що зникає після припинення дії сил, які її спричинили (тобто після зняття навантаження). Пластичною ж називають деформацію, яка залишається й після зняття навантаження. Наприклад, деформації пружин зазвичай є пружними; але якщо занадто сильно деформувати пружину, вона вже не відновить початкової форми.

Щоб описати деформацію розтягнення (стиснення), застосовують абсолютне видовження Δl (іноді його позначають х). Це різниця між довжиною l деформованого тіла (ми будемо зазвичай розглядати стрижні) та довжиною l₀ недеформованого: х = Δl = l - l₀.

3. Закон Гука. Модуль Юнга

Розглянемо докладніше випадок малих пружних деформацій. Ви вже знаєте з курсу фізики 7 класу, що для таких деформацій виконується закон Гука: деформація (модуль абсолютного видовження) пружини або стрижня пропорційна модулю F сили, що спричиняє цю деформацію (нагадаємо, що при цьому пружне тіло створює таку саму за модулем силу пружності). Формулу закону Гука можна записати у вигляді

F = k|x| = k|Δl|, (1)

Жорсткість стрижня залежить від його матеріалу, площі поперечного перерізу S і довжини l₀ (зазвичай зміна довжини стрижня невелика, тому суттєвої різниці між l₀ і l в даному випадку немає). Наш життєвий досвід підказує, що змінювати довжину стрижня тим важче, чим він товщий і коротший. Вимірювання підтверджують, що жорсткість стрижня з певного матеріалу прямо пропорційна S та обернено пропорційна l₀. Отже, можна записати співвідношення

де Е — характеристика пружних властивостей матеріалу стрижня.

σ = Ε|ε|. (3)

На електронному освітньому ресурсі ви докладніше дізнаєтеся про механічні властивості твердих тіл та їх теплове розширення, а також ознайомитеся з прикладами розв’язування задач на властивості твердих тіл (див. за посиланням).

Інакше кажучи, механічна напруга за малих пружних деформацій прямо пропорційна відносному видовженню. Формулу (3) називають законом Гука в диференціальній формі. Вона застосовна і для складних неоднорідних деформацій, коли σ і ε змінюються від точки до точки матеріалу.

Спираючись на формулу (3), можна визначити фізичний зміст модуля Юнга: це така механічна напруга, за якої ε = 1. За такого відносного видовження Δl = l₀, a l = 2l₀. Отже, модуль Юнга дорівнює механічній напрузі, за якої довжина стрижня мала б подвоїтися (за умови виконання закону Гука!). Реально для переважної більшості матеріалів така велика пружна деформація неможлива.

Значення модуля Юнга давно виміряли для великої кількості матеріалів та занесли в довідкові таблиці (див., наприклад, табл. 27.2).

Таблиця 27.2

Границя міцності на розтяг σ_м і модуль Юнга Е

Речовина	σм, МПа	Е, ГПа
Алюміній	100	70
Мідь	50	120
Сталь	500	200

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Зі скількох сталевих дротів радіусом по 0,5 мм має складатися трос, щоб на ньому можна було підвісити вантаж масою 2 т, забезпечивши запас міцності, що дорівнює 4?

Задача 2. Кінці вертикального алюмінієвого дроту за температури 0 °С жорстко закріпили, не натягуючи сильно дріт. До якої температури необхідно охолодити дріт, щоб у ньому виникла механічна напруга 20 МПа? Температурний коефіцієнт лінійного розширення алюмінію становить 2,2 • 10^-5 К^-1.

Коментар

Оскільки σ < σ_м, дріт може витримати таку механічну напругу.

Підбиваємо підсумки

Монокристали мають «цільні» кристалічні ґратки, їм властива анізотропія, тобто не всі напрями в них є рівноправними. Полікристали, які складаються з окремих кристалічних зерен, є ізотропними.

Деформації твердих тіл можна розділити на різні типи:

• за геометричними характеристиками (розтягнення, стиснення, зсув тощо);
• пружні (які зникають після зняття навантаження) та пластичні (які зберігаються й після зняття навантаження).

Теплове розширення твердих тіл унаслідок зміни температури в межах певного температурного інтервалу характеризують температурні коефіцієнти лінійного та об’ємного розширення (відповідно α і β). Залежність лінійного розміру l і об’єму V тіла від температури описують формули l = l₀(1 + αΔΤ) і V = V₀(1 + βΔΤ). Для ізотропного твердого тіла β = 3α.

Контрольні запитання

1. Що таке анізотропія? 2. Чому полікристали є ізотропними? 3. Що називають запасом міцності? 4. Запишіть формулу закону Гука. 5. Який фізичний зміст модуля Юнга? 6. Який фізичний зміст температурного коефіцієнта лінійного розширення?

Вправа № 27

1. Які види деформацій виникають: а) у струнах гітари під час гри; б) у палях, на яких монтують тимчасову сцену; в) у кришці стола, на який поставили важку каструлю?

2. До мідного дроту з площею поперечного перерізу 2 мм² підвісили вантаж масою 4 кг. Знайдіть механічну напругу в дроті та його відносне видовження.

3. Яка границя міцності металу, якщо дріт із цього металу з площею поперечного перерізу 0,2 мм² рветься під дією вантажу масою 1,6 кг?

4. Жорсткість гумового джгута дорівнює 20 Н/м. Якою стане жорсткість цього джгута, якщо його скласти втричі?

5. Визначте механічну напругу в нижній частині вертикальної цегляної стінки заввишки 20 м. Густина цегли дорівнює 1600 кг/м³.

6. За якої довжини мідний дріт, підвішений вертикально, рветься під власною вагою? Густина міді дорівнює 8900 кг/м³.

7. На скільки відсотків змінюється густина алюмінію внаслідок його нагрівання від 0 до 150 °С? Температурний коефіцієнт лінійного розширення алюмінію становить 2,2 • 10^-5 К^-1.