ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

За умовою у △АВD ∠C = 90°, СК — висота, тоді СК² = КВ • АК, СВ = АС • tg α, СВ = b • tg α. У △АКС ∠АКС = 90°, СК = АС • sin α, СВ = b • cos α, АК = АС • cos α, АК= b • cos α. Маємо: b² • sin² α = b • cos α • КВ,

803. Нехай дано △АВС, ∠С = 90°, коло вписане у △АВС, OD — радіус кола, ОD = r, ∠CAB = β.

Проведемо радіус ОМ, за властивістю дотичної OD ⟂ АВ, ОМ ⟂ AC. △ADO = △AMO за гіпотенузою ОА (вона спільна сторона цих трикутників) та катетом AM = MD (за властивістю кола, вписаного у кут).

Нехай дано трапецію ABCD, ВК — висота трапеції, тоді ∠ВКА = ∠BKD = 90°. У △AВК ∠A = 60°, тоді ВК = АК • tg ∠A, ВК = АК • tg 60° = АК • √3. Опустимо висоту CM, тоді у △СМD ∠CMD = 90°. ВК = CM як висоти. У △CMD ∠CDM = 30°, тоді

805. Нехай дано пряму а, АС ⟂ а, тоді ∠ACD = ∠ACB = 90°. Знайдемо АС з △ACD та △ВАС. За умовою ∠D = 60°, ∠B = 30°. Тоді АС = DC • tg 60° та AC = СВ • tg 30°.

За умовою △АВС ∠C = 90°, ∠A = 19°, за властивістю ∠A + ∠B = 90°, тоді ∠B = 90° - 19° = 71°. ВС = АВ • sin ∠A, ВС = АВ • sin 19° = 7 • 0,3256 ≈ 2,28 см. АС = АВ • cos ∠A, AC = 7 • 0,9455 ≈ 6,62 см.

Відповідь: 228 см, 6,62 см, 71°.

Нехай дано пряму a, CD ⟂ а, тоді ∠CDB = ∠ADC = 90°. Знайдемо CD з △CDA та △CBD. CD = AD tg ∠CAD та CD = DB • tg ∠CBD. Нехай AD = х, тоді DB = АВ - х. За умовою AB = а, ∠САВ = α, ∠СВА = β. Маємо: (а - х) • tg α = х • tg β; α • tg α - х • tg α = х • tg β; х • (tg α + tg β) = а • tg α;