ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

371. Оскільки задані кути нерівні, то вони не можуть бути протилежними. Отже, ці кути прилеглі до однієї сторони, а отже, їх сума дорівнює 180°. Нехай 2х° — величина меншого кута, тоді 3х° — величина більшого кута. Отримуємо рівняння: 2х + 3х = 180; 5х = 180; х = 36. Отже, менший кут дорівнює 2 • 36° = 72°; більший кут дорівнює 2 • 36° = 108°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то кути даного ромба дорівнюють 72°; 108°; 72°; 108°.

Відповідь: 72°; 108°; 72°; 108°.

372. У ромбі ABCD (мал.) AM ⟂ ВС, AN ⟂ CD. △AMВ = △AND — за гіпотенузою і гострим кутом (АВ = AD — як сторони ромба; ∠МВА = ∠NDA — як суміжні кути до рівних кутів (∠В = ∠D — як протилежні кути ромба)). Із рівності цих трикутників маємо AM =AN, що і треба було довести.

374. У ромбі ABCD ВН ⟂ AD, ∠ВРС = 40°. Із прямокутного трикутника РHА: ∠РАМ = 90° - 40° = 50°. За властивістю вертикальних кутів маємо ∠CAD = ∠РАМ = 50°. Тоді ∠BAD = 2∠CAD = 100°. Звідси за властивістю протилежних кутів ромба ∠BAD = ∠BCD = 100°. За властивістю сусідніх кутів ромба маємо — ∠АВС = ∠ADC = 180° - 100° = 80°, отже, кути ромба: 100°, 80°, 100°, 80°.

Відповідь: 100°, 80°, 100°, 80°.

375. Нехай ABCD — ромб, у якого ВН ⟂ AD, тобто ВН — висота, за умовою задачі ВН = 10 см, Р_ABCD = 80 см. Оскільки Р_ABCD = 80 см, то AB = ВС = CD = AD = 20 см.

1) Оскільки в прямокутному трикутнику АВН АВ = 2ВН, то ∠ВАН = 30°. Тоді ∠A = ∠C = 30°. За властивістю сусідніх кутів ромба маємо ∠АВС = ∠ADC = 180° - 30° = 150°, отже, кути ромба: 150°, 30°, 150°, 30°.

Відповідь: 150°, 30°, 150°, 30°.

2) Із трикутника АВН маємо: ∠АВН = 90° - ∠ВАН = 90° - 30° = 60°. Оскільки трикутник ABD — рівнобедрений, то ∠ABD = 75°. Тоді ∠HBD = ∠ABD - ∠АВН = 75° - 60° = 15°.

Відповідь: 15°.

376. Будуємо прямокутний трикутник АВН за гіпотенузою АВ (задана сторона ромба) і катетом ВН (задана висота ромба).

Через точки В і А проводимо промені ВС і AD, паралельні прямій АН і від точок В і А відкладаємо рівні відрізки ВС і AD. ABCD — шуканий ромб.

377. △KАN = △KDP = △МСР = △МВН за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: КН = КР = РМ = НМ. Чотирикутник, у якого всі сторони рівні є ромбом.

До § 5.

Р_ABCD = 12 см.

379. Нехай х см — довжина сторони квадрата, тоді 4х см — його периметр. Маємо рівняння 4х - 3х = 8; х = 8. Отже, сторона квадрата дорівнює 8 см, а його периметр дорівнює 4 • 8 = 32 (см).

Відповідь: 8 см, 32 см.

380. Проводимо діаметр АВ, будуємо діаметр CD, який перпендикулярний до діаметра АВ. ABCD — шуканий квадрат.