ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

381. Нехай ABCD — даний прямокутник, ∠1 = ∠2 = 90° : 2 = 45° — за умовою задачі. ∠3 = 90° - ∠1 = 90 - 45° = 45°, тоді △АВС — прямокутний і рівнобедрений, отже, АВ = ВС. Оскільки в прямокутнику сусідні сторони рівні, то він є квадратом.

382. Нехай ABCD — даний квадрат. АА₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ — за умовою задачі, тоді А₁В = B₁C = C₁D = D₁A — як різниці довжини сторони квадрата ABCD і рівних відрізків (АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = DD₁). △А₁В₁B = △B₁C₁C = △С₁D₁D = △D₁A₁A (за двома катетами). Із рівності трикутників маємо А₁В₁ = В₁С₁ = С₁D₁ = D₁A₁, отже, A₁B₁C₁D₁ — ромб. Оскільки ∠A₁B₁C₁ = 180° - ∠A₁B₁B - ∠CB₁C₁ = 180° - 90° = 90°, то А₁В₁С₁D₁ — квадрат.

383. Нехай ABCD — даний квадрат, а MNKL — прямокутник. AC = BD = d см. У трикутнику AFM ∠AFM = 90°, оскільки MN ∥ AC, ML ∥ BD, a AC ⟂ BD; ∠MAF = 45°, тому що АС — бісектриса кута А квадрата ABCD. Отже, трикутник AMF — рівнобедрений з основою AM; тобто AF = MF. Аналогічно доводимо, що FL = AF. Також, переконавшись, що ∠CNE = ∠СКЕ = 45° доводимо рівність трикутників NCK і MAL за гіпотенузою (ML = NK) і гострим кутом. Звідси випливає, що EC = AF. Отже, діагональ АС = AF + FE + EC = MF + MN + EN = 0,5 P_MNKL. Отже, Р_МNKL = 2d (см)

Відповідь: 2d см.

До § 6.

384. У трапеції NMLK (MN ∥ LK) основи: NM і LK, а бічні сторони: NK і ML.

У трапеції DCFH (DC ∥ FH) основи: DC і FH, а бічні сторони: DH і CF.

385. За умовою задачі в рівнобічній трапеції ABCD AD ∥ ВС, AB = CD, ВС = 5 см, AD = 8 см, AB = ВС. Тоді Р_ABCD = AB + ВС + CD + AD = 8 + 5 + 5 + 5 = 23 (cм).

Відповідь: 5 см.

386. Нехай ABCD — трапеція, AD ∥ ВС, бічні сторони якої АВ і CD, AB = CD . Нехай ∠A = x°, тоді ∠B = x° + 20°. За властивістю кутів трапеції маємо ∠А + ∠B = 180°, тоді маємо рівняння: х + х + 20 = 180°. Звідси 2х + 20 = 180; 2х = 160; х = 80. Тоді ∠А = 80°, a ∠B = 80° + 20° = 100°. Отже, в трапеції ABCD ∠А = ∠D = 80°, ∠В = ∠С = 100°.

Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.

387. Нехай ABCD — прямокутна трапеція, AD ∥ ВС, АВ ⟂ AD, CH ⟂ AD. CD = 2СН — за умовою задачі. Оскільки в трикутнику CHD CD = 2СН, то ∠CDH = 30° за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°. ∠BCD = ∠ВСН = ∠HCD = 90° + (90° - ∠CDH) = 90° + (90° - 30°) = 90° + 60° = 150°. Отже, в трапеції ABCD ∠А = ∠В = 90°, ∠D = 30°, ∠С = 150°.

Відповідь: 90°, 90°, 150°, 30°.

388. Нехай ABCD — трапеція, AD ∥ ВС, бічні сторони якої АВ і CD, AB = CD. Нехай ∠А = ∠D = 4х°, тоді ∠C = ∠В = 5х°. За властивістю кутів трапеції маемо ∠А + ∠В = 180°, тоді маемо рівняння: 4х + 5х = 180. Звідси 9х = 180; х = 20. Тоді ∠А = 4 • 20° = 80°, а ∠В = 5 • 20° = 100°. Отже, в трапеції ABCD ∠А = ∠D = 80°, ∠В = ∠С = 100°.

Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°.

389. Розглянемо трикутники КСВ і КDM. У них СК = КD за умовою, ∠СКВ = ∠DKM (як вертикальні), ∠КСВ = ∠KDM (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній CD). Отже, △КСВ = △KDM за стороною і двома прилеглими кутами.