ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

До § 3.

361. Р_ABCD = 2(AВ + ВС) = 2(3 + 4) = 14 (см).

Відповідь: 14 см.

362. Нехай ABCD — даний чотирикутник, діагоналі якого перетинаються в точці О. У трикутниках ВОС і DOA: ВО = DO, ОС = ОА — за умовою; ∠BOC = ∠DOA як вертикальні. Отже, △ВОС = △DOA за двома сторонами і кутом між ними. Звідси ∠ВСО = ∠DAO, причому ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих ВС і AD і січній АС. Отже, ВС ∥ AD. Аналогічно доводимо рівність трикутників ВОА і DOC і паралельність прямих АВ і CD. Оскільки протилежні сторони чотирикутника паралельні, то цей чотирикутник — паралелограм за означенням. А паралелограм, у якого діагоналі рівні, є прямокутником

Нехай ABCD (мал.) — прямокутник, AN — бісектриса кута BAD. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠А = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠BAN = ∠NAD = 45°. Тоді ∠AND = 90° - 45° = 45°.

Відповідь: 45°.

364. 1) Будуємо прямокутний трикутник ABD за гіпотенузою (задана діагональ прямокутника) і катетом (задана сторона прямокутника).

Через точки В і D проводимо прямі ВС і CD, паралельні прямим AD і АВ відповідно. ABCD — шуканий прямокутник.

2) Будуємо прямокутний трикутник ABD за гіпотенузою (задана діагональ прямокутника) і гострим кутом (заданий кут прямокутника). Через точки В і D проводимо прямі ВС і CD, паралельні прямим AD і АВ відповідно. ABCD — шуканий прямокутник.

3) Будуємо прямокутний трикутник АВО за двома сторонами (задані половини діагоналі прямокутника) і гострим кутом (заданий кут між діагоналями прямокутника).

Від точки О на променях АО і ВО відкладаємо рівні відрізки ОС і OD (що дорівнюють половинам діагоналі). ABCD — шуканий прямокутник.

365. Нехай ABCD (мал.) — прямокутник, AM — бісектриса кута BAD, DM = 5 см, МС = 2 см. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠А = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠ВАМ = ∠MAD = 45°. Тоді ∠AMD = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник ADM — рівнобедрений з основою AM. Оскільки МС = 5 см тоді AD = 5 см. CD = DM + МС = 5 + 2 = 7 (см). Таким чином, Р_ABCD = 2(АВ + DC) = 2• (5 + 7) = 24 см.

Відповідь: 24 см.

366. Нехай ABCD — даний прямокутник, точка О — точка перетину його діагоналей. Проведемо відрізки ОМ, перпендикулярний до сторони ВС, і ON, перпендикулярний до сторони АВ. Оскільки ВС > АВ, то ON на 2 см більше від ОМ за умовою. У трикутнику ВОС ВО = ОС як половини рівних діагоналей АС і BD. Отже, у трикутнику ВОС висота ОМ є й медіаною (властивість висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи). Тобто ВМ = ¹/₂ ВС. Аналогічно в трикутнику ВОА (ВО = ОА) точка N — середина AB, BN = ¹/₂ АВ. Оскільки за умовою Р_ABCD = 56 см, то АВ + ВС = 28 (см), а BN + ВМ = 28 : 2 = 14 (см). Розглянемо чотирикутник BMON: у ньому три прямі кути, отже, BMON — прямокутник за ознакою. ОМ = BN = х см, тоді MB = ON = (х + 2) см. (х > 0) Отже, х + х +2 = 14, 2х = 12, х = 6. Таким чином, BN = 6 см, тоді АВ = CD = 12 см, а ВМ = 6 + 2 = 8 (см), ВС = AD = 16 см.

Відповідь: 12 см, 16 см, 12 см, 16 см.

367. Нехай ABCD — даний прямокутник, АК ⟂ BD, точка О — точка перетину діагоналей BD і АС, ВК : KD = 1 : 3, OF ⟂ AD, OF = 6 см. Нехай ВК = х (х > 0), тоді KD = 3х, BD = 4х. Оскільки ABCD — прямокутник, то BO = OD = AO = ОС = 2х. Звідси ВК = КО = х. Отже, висота АК трикутника АВО є також його медіаною. Звідси трикутник АВО — рівнобедрений з основою ВО. Тобто АВ = АО. Але АО = ВО, отже, АВ = ВО = АО. Подовжимо відрізок OF до його перетину зі стороною ВС, одержуємо: ОЕ = OF = 6 см. Отже, FE = 12 см. Розглянемо чотирикутник ABEF. У ньому всі кути прямі, таким чином, ABEF — прямокутник, АВ = EF = 12 см (за властивістю протилежних сторін прямокутника). Отже, ВО = АВ = 12 см. Таким чином, за властивістю діагоналей прямокутника АС = BD = 24 см.

Відповідь: 24 см.

368. I випадок.

Нехай ABCD (мал.) — прямокутник, AL — бісектриса кута BAD, BL = 7 см, LK = 2 см. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠A = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠BAL = ∠LAD = 45°. Тоді ∠ALB = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник ABL — рівнобедрений з основою AL. Оскільки BL = 7 см тоді АВ =7 см. CD = АВ = 7 см. АК — бісектриса кута CDA, DK — бісектриса кута CDA. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠D = 90°. Оскільки DK — бісектриса кута D, то, ∠CDK = ∠KDA = 45°. Тоді ∠АКС = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник KCD — рівнобедрений з основою DK. KC = CD = 7 cм, BC = BL + KC + LК = 7 + 7 + 2 = 16 (см.). Таким чином, Р_ABCD = 2(АВ + ВС) = 2 • (7 + 16) = 2 • 23 = 46 см.

Відповідь: 46 см.

II випадок.

Нехай ABCD (мал.) — прямокутник, AL — бісектриса кута BAD, BL = 7 см, LK = 2 cм. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠А = 90°. Оскільки АК — бісектриса кута А, то, ∠BAL = ∠LAD = 45°. Тоді ∠ALB = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник ABL — рівнобедрений з основою AL. Оскільки BL = 7 см тоді АВ = 7 см. CD = АВ = 7 см. АК — бісектриса кута CDA, DK — бісектриса кута CDA. Оскільки ABCD — прямокутник, то ∠D = 90°. Оскільки DK — бісектриса кута D, то, ∠CDK = ∠KDA = 45°. Тоді ∠АКС = 90° - 45° = 45°, отже, трикутник KCD — рівнобедрений з основою DK. КС = CD = 7 см, ВС = BL + КС - LK = 7 + 7 - 2 = 12 (см). Таким чином, Р_ABCD = 2(АВ + ВС) = 2 • (7 + 12) = 2 • 19 = 38 см.

Відповідь: 38 см.

До § 4.

370. Оскільки діагональ ромба є бісектрисою його кутів, то ∠BAD = 2∠BАО = 2 • 25° = 50°. Оскільки сума кутів прилеглих до однієї сторони дорівнює 180°, то ∠АВС = 180° - 50° = 130°. Оскільки протилежні кути рівні, то в ромбі ABCD ∠А = 50°, ∠В = 130°, ∠С = 50°, ∠D = 130°.

Відповідь: 50°; 130°; 50°; 130°.