ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

21. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо супротивне: в кожному чотирикутнику не існує кута не меншого за 90°, тобто, кожний кут чотирикутника більший, ніж 90°, тоді сума кутів такого чотирикутника буде більша ніж 90° • 4 = 360°, а це суперечить теоремі про суму кутів чотирикутника. Отже, припущення невірне, а вірно те, що в кожному чотирикутнику існує кут не менший за 90°.

22. Може. Нехай у чотирикутнику ABCD: ∠A > ∠B + ∠C + ∠D. Додаємо до лівої і правої частини нерівності ∠A і отримаємо 2∠A > ∠A + ∠B + ∠C + ∠D або 2 ∠A > 360°. Звідси, ∠A > 180° (Мал. 3.).

Мал. 3.

Отже, якщо кут чотирикутника більший за суму інших його кутів, то цей чотирикутник не опуклий.

Відповідь: може.

Високий рівень

23. Задача має два розв’язки: побудований чотирикутник може бути опуклий або не опуклий (мал. 4).

Мал. 4.

24. Задача має два розв’язки: побудований чотирикутник може бути опуклий або не опуклий (мал. 5).

Мал. 4.

25. 1) Проведемо діагональ BD (мал. 6). Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них: АВ = ВС — за умовою; AD = CD — за умовою; АС — спільна сторона, тоді за третьою ознакою рівності трикутників маємо △ABD = △CBD. Із рівності цих трикутників маємо: ∠ABD = ∠CBD, ∠BDA = ∠BDC, що і треба було довести.

Мал. 6.

2) Проведемо діагоналі ВD і АС, які перетинаються в точці О (мал. 7). △АВС — рівнобедрений (АВ = ВС — за умовою), у якому ВО — бісекртиса (∠ABD = ∠СBD — за доведеним в задачі 25.1), тоді за властивістю рівнобедреного трикутника BD ⟂ АС, що і треба було довести.

Мал. 7.

26. За умовою (мал. 8) задачі: АВ + ВD + AD = 20 см (1), СВ + CD + BD = 21 см (2). Додаємо ліві і праві частини рівностей (1) і (2): AB + BD + AD + СВ + CD + BD = 20 см + 21 см, тоді (АВ +АD + СВ + СD) + 2BD = 41 см. Враховуючи, що АВ + AD + СВ + CD за умовою задачі дорівнює 29 см, маємо 29 см + 2BD = 41 см.

Мал. 8.

Тоді 2BD = 41 см - 29 см, 2BD =12 см, тоді BD = 12 см : 2, BD = 6 см.

Відповідь: 6 см.

Вправи для повторення

27. (Мал. 9.). ∠1 = 180° - 70° = 110° — за властивістю суміжних кутів, ∠2 = 70° — за властивістю вертикальних кутів, ∠3 = 180° - 70° = 110° — за властивістю суміжних кутів.

Мал. 9.

∠4 = 70°, ∠5 = ∠1 = 110°, ∠6 = ∠2 = 70°, ∠7 = ∠3 = 110°, — за властивістю відповідних кутів при паралельних прямих і січній.

Відповідь: 110°, 70°, 110°, 70°, 110°, 70°, 110°.

28. І випадок. Нехай у трикутнику ABC: AB = ВС, ∠B = 70° (мал. 10). Тоді, враховуючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, а кути при основі рівнобедреного трикутника рівні (за властивістю рівнобедреного трикутника): ∠A = ∠C = (180° - 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.

Мал. 10.

II випадок. Нехай у трикутнику ABC: АВ = ВС, ∠A = 70° (мал. 11). Оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні (за властивістю рівнобедреного трикутника), то: ∠C = ∠A = 70°. Враховуючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠B = 180° - ∠A - ∠С = 180° - 70° - 70° = 40°.

Мал. 11.

Відповідь: два випадки: 55°, 55° або 70°, 40°.

Розв’яжіть та підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

30. Пари внутрішніх односторонніх кутів: ∠KCD, ∠MDC; ∠LCD, ∠NDC. Пари внутрішніх різносторонніх кутів: ∠KCD, ∠NDC; ∠LCD, ∠MDC.

Пари відповідних кутів: ∠КСА, ∠MDC; ∠KCD, ∠MDB; ∠LCA, ∠KDC; ∠LCD, ∠NDB.

31. 1)Якщо ∠2 + ∠4 = 180°, то а ∥ b;

2) Якщо ∠1 > ∠4, то прямі а і b перетинаються;

3) Якщо ∠3 = 120°, ∠4 = 121°, то прямі а і b перетинаються;

4) Якщо ∠2 = 60°, ∠4 = 119°, то прямі а і b перетинаються;

5) Якщо ∠1 = ∠4 = 122°, то а ∥ b;

6) Якщо ∠3 = ∠4, то а ∥ b.

32. 1) Розглянемо трикутники ABC і CDА. У них: AB = CD — за умовою; ∠BAC = ∠ACD — за умовою; АС — спільна сторона, тоді за першою ознакою рівності трикутників маємо △АВС = △ADC, що і треба було довести.

2) Із рівності цих трикутників △АВС = △ADC маємо: BC = AD, ∠ВСА = ∠CAD, що і треба було довести.

3) Оскільки ∠ВСА і ∠CAD — внутрішні різносторонні кути при прямих ВС і AD та січній АС і ∠ВСА = ∠CAD (за доведеним в задачі 32.2), то маємо: ВС ∥ AD (за ознакою паралельності прямих, що і треба було довести.

33. Нехай А і В — ті з даних точок, відстань між якими найбільша. Точка С — будь-яка інша з даних точок. У трикутнику АСВ за умовою задачі один з кутів прямий; оскільки АВ — найбільша сторона трикутника, то прямим буде кут АСВ. Отже, усі дані точки лежать на колі, побудованому на відрізку АВ як на діаметрі (мал. 13).

Мал. 13.

Припустимо, що серед даних точок, крім т. С, є й інша т. D. У трикутнику ADC один із кутів прямий; кут АDС не може бути прямим, бо тоді т. С збігалася б з т. В (відрізок АС був би діаметром). З тієї самої причини не може бути прямим і кут ACD. Отже, кут DAC прямий і відрізок DC — є діаметром кола. Ми довели, що будь-яка інша четверта т. D є кінцем діаметра кола, який проходить через т. С. Отже, n = 4, а дані точки є вершинами прямокутника.

Відповідь: 4.