ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас

11. Нехай кути чотирикутника 2х, 3х, 10х та 21х, а їх сума 2х + 3х + 10х + 21х = 360°. Із рівняння 2х + 3х + 10х + 21х = 360° маємо х = 10. Отже, кути заданого чотирикутника 20°, 30°, 100° і 210°. Оскільки чотирикутник містить кут, більший від розгорнутого, то цей чотирикутник — неопуклий.

13. 1) Не може, бо їхня сума буде менша, ніж 360°;

2) не може, бо їхня сума буде більшою, ніж 360°;

3) може, оскільки сума чотирьох прямих кутів 360°;

4) не може, оскільки їх сума менша, ніж 360°;

5) не може, оскільки їх сума перевищує 360°;

6) може.

15. Найменша сторона — друга. Позначимо її довжину за х см. Тоді довжина першої — (х + 2) см, третьої — (х + 2 + 6 = х + 8) см, четвертої — (3(х + 2))см. Сума всіх сторін: х + 2 + х + х + 8 + 3(х + 2) = 3х + 10 + 3х + 6 = 6х + 16, що становить 64 см. Із рівняння 6х + 16 = 64 маємо: 6х = 48, х = 8. Отже, перша сторона чотирикутника 8 + 2 = 10 (см), друга — 8 см, третя — 8 + 8 = 16 (см), четверта — 3 • (8 + 2) = 30 (см).

У чотирикутника ABCD AB = ВС, ∠ABD = ∠CBD, діагональ BD розбиває чотирикутник на 2 трикутники ABD і CBD; △ABD = △CBD за двома сторонами і кутом між ними (BD — спільна, AB = СВ, ∠ABD = ∠СBD), тоді AD = CD. Що й треба було довести.

Нехай задано чотирикутник ABCD, його діагоналі АС і BD перетинаються в точці О так, що BO = OD, АО = ОС. І нехай AB = 6 см. Знайдемо протилежну їй сторону CD. Розглянемо △BOA i △DOC: ВО = DO, AO = CO (за умовою), ∠BOA = ∠DOC (як вертикальні). △ВОА = △DOC за двома сторонами і кутом між ними, звідки CD = АВ, тоді CD = 6 см.

Проведемо діагональ NP, вона розбила чотирикутник на △MNP і △KNP, у яких: NP — спільна, NM = NK, MP = КР, тоді △MNP = △KNP за трьома сторонами. Отже, ∠К = ∠M = 100°.

Розглянемо △DAC і △BAC: АС — спільна, ∠DAC = ∠BAC, ∠DCA = ∠ВСА, тоді △DAC = △BAD за стороною і прилеглими до неї кутами. Звідки: AB = AD, BC = CD. Маємо: АВ = AD = 8 см, ВС = CD = 10 см. Периметр чотирикутника Р_ABCD = 2АВ + 2ВС, отже, Р_ABCD = 2 • 8 + 2 • 10 = 36 (см).

1) Оскільки бісектриси АК і ВМ ділять відповідні кути навпіл, то ∠ВАК = ∠САК = 44° : 2 = 22°, ∠АВМ = ∠СВМ = 56° : 2 = 28°. У △АВО ∠ВАО + ∠АВО + ∠AОВ = 180°, звідки: ∠AОВ = 180° - 22° - 28° = 130°. ∠МОК = ∠AОВ = 130° як вертикальні. Для △АВК ∠АКС — зовнішній, тому ∠АКС = ∠ВАК + ∠АВК, тоді ∠АКС = 22° + 56° = 78° = ∠ОКС. Для △АВМ ∠ВМС — зовнішній, тому ∠ВМС = ∠ВАМ + ∠АВМ, тоді ∠ВМС = 44° + 28° = 72° = ∠ОМС. У чотирикутника МОКС ∠ОМС + ∠MOK + ∠ОКС + ∠МСК = 360°, звідки: ∠МСК = 360° - (∠ОМС + ∠MOK + ∠ОКС), ∠МСК = 360° - (72° + 130° + 78°) = 80°.

2) Кути чотирикутника АОВС: ∠ОАС = 44° : 2 = 22°, ∠OBK = 56° : 2 = 28°, ∠ACB = 180° - (∠А + ∠B) = 180° - (44° + 56°) = 80°. Оскільки сума кутів чотирикутника 360°, то ∠ОАС + ∠ОВС + ∠АСВ + ∠AОВ = 360°, звідки: ∠АОВ = 360° - (22° + 28° + 80°) = 230°.