ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас
§ 8. Вписані і описані чотирикутники
Початковий рівень
251. На малюнку 98 зображено описаний чотирикутник, а на малюнку 100 зображено вписаний чотирикутник.
252. 1) Оскільки за умовою задачі ∠A + ∠C = 30° + 150° = 180°, тоді за теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 360° - 180° = 180°. Навколо чотирикутника ABCD, у якого суми протилежних кутів дорівнюють по 180°, можна описати коло.
Відповідь: можна.
2) Оскільки за умовою задачі ∠В + ∠D = 90° + 80° = 170°. Навколо чотирикутника ABCD, у якого суми протилежних кутів не дорівнюють по 180°, не можна описати коло.
Відповідь: не можна.
253. 1) Оскільки за умовою задачі ∠M + ∠K = 20° + 150° = 170°. Чотирикутник MNKL, у якого суми протилежних кутів не дорівнюють по 180°, не може бути вписаним в коло.
Відповідь: не може.
2) Оскільки за умовою задачі ∠N + ∠L = 90° + 90° = 180°, тоді за теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠M = ∠К = 360° - (∠N + ∠L) = 360° - 180° = 180°. Чотирикутник MNKL, у якого суми протилежних кутів дорівнюють по 180°, може бути вписаним в коло.
Відповідь: може.
Середній рівень
254. 1) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 5х, ВС = 3х, CD = 4х, AD = 7х. Тоді АВ + CD = 5х + 4х = 9х, а ВС + AD = 3x + 7х = 10х.
Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін не рівні AB + CD ≠ВС + AD, то в нього не можна вписати коло.
Відповідь: не можна.
2) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 3х, ВС = 2х, CD = 4х, AD = 5х. Тоді АВ + CD = 3х + 4х = 7х, а ВС + AD = 2х + 5х = 7х. Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін рівні AB + CD = BC + AD, то в нього можна вписати коло.
Відповідь: можна.
255. 1) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 7х, ВС = 3х, CD = 2х, AD = 6x. Тоді AB + CD = 7х + 2х = 9х, а ВС +AD = 3х + 6х = 9х. Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін рівні AB + CD = ВС + AD, то чотирикутник може бути описаним навколо кола.
Відповідь: може.
2) Нехай сторони чотирикутника ABCD дорівнюють АВ = 5х, ВС = 4х, CD = 3х, AD = 6х. Тоді АВ + CD = 5х + 3х = 8х, а ВС + AD = 4х + 6х = 10х. Оскільки, в чотирикутнику ABCD суми протилежних сторін не рівні АВ + CD ≠ ВС + AD, то чотирикутник не може бути описаним навколо кола.
Відповідь: не може.
256. Оскільки чотирикутник ABCD є вписаним в коло, то у нього суми протилежних кутів дорівнюють по 180°.
Тоді ∠A = 180° - ∠C = 180° - 132° = 48°, ∠B = 180° - ∠D = 180° - 29° = 151°.
Відповідь: ∠A= 48°, ∠B = 151°.
257. Оскільки чотирикутник ABCD є вписаним в коло, то у нього суми протилежних кутів дорівнюють по 180°. Тоді ∠C = 180° - ∠A = 180° - 138° = 42°, ∠D = 180° - ∠B = 180° - 49° = 131°.
Відповідь: ∠C = 42°, ∠D = 131°.
Достатній рівень
258. ABCD — трапеція, описана навколо кола, АВ = CD, PABCD = 16 см.
Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію ABCD, то АВ + CD = ВС +AD = 16 : 2 = 8 (см). Тоді АВ = CD = 8 : 2 = 4 (см).
Відповідь: 4 см.
259. ABCD — трапеція, описана навколо кола, АВ = CD = 5 дм, тоді АВ + CD = 10 дм.
Оскільки коло вписане в рівнобедрену трапецію ABCD, то АВ + CD = ВС + AD, тоді РABCD = 10 + 10 = 20 (дм).
Відповідь: 20 дм.
260. Оскільки в чотирикутнику H1HH2C ∠H1 = ∠Н2 = 90° — за умовою задачі, тоді ∠H1HH2 + ∠H2CH1 = 360° - 180° = 180° — за теоремою про суму кутів чотирикутника. Оскільки в чотирикутнику Н1НН2С суми протилежних кутів дорівнюють по 180°, то навколо чотирикутника Н1НH2С можна описати коло. Оскільки Н1 = Н2 = 90°, то НС — діаметр кола.
