ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 9 клас

1114. Тільки послідовності однакових, відмінних від нуля, чисел.

1115. Нехай а_n = а + (n - 1)d; a_n+1 = а₁ + (n + 1 - 1)d = a₁ + nd; a_n+2 = a₁ + (n + 2 - 1)d = a₁ + (n + 1)d — три послідовні члена зростаючої арифметичної прогресії, тоді а_n + а_n+1 + а_n+2 = a₁ + (n - 1)d + a₁ + nd + а₁ + (n + 1)d = 3а₂+ (n - 1 + n + n + 1)d = 3a₁ + 3dn.

За умовою 3a₁ + 3dn = 15; a₁ + nd = 5. a_n - 1 = a₁ + (n - 1)d - 1; a_n+1 - 1 = a₁ + nd - 1; a_n+2 + 1 = a₁ + (n + 1)d + 1 — утворюють геометричну прогресію. Скористаємося властивістю членів геометричної прогресії: (а_n-1)² = (а_n - 1)²(а_n+2 - 1)²; (а₁ + nd - 1)² = (а₁ + (n - 1)d - 1)(a₁+ (n + 1)d + 1). Оскільки a₁ + nd = 5, маємо: 4² = (4 - d)(6 + d); 16 = 24 - 2d - d²; d² + 2d - 8 = 0; d = 2; d = -4 — не задовольняє умові задачі, оскільки послідовність зростаюча. Якщо n = 1, а₁ + d = 5; а₁ + 2 = 5; а₁ = 3; а₃ = а₁ + d = 3 + 2 = 5; а₃ = а₁ + 2d = 3 + 2 • 2 = 7. Отже, 3; 5; 7 — шукані числа.

Відповідь: 3; 5; 7.

1116. Нехай b_n = b₁ • q^n-1; b_n+1 = b₁ • qⁿ; b_n+2 = b₁ • qⁿ⁺¹ — три члени геометричної прогресії, тоді b_n + b_n+1 + b_n+2 = b₁ • q^n-1 + b₁ • qⁿ + b₁ • qⁿ⁺¹ = b₁q^n-1(1 + q + q²). За умовою b₁q^n-1(1 + q + q²) = 91. b_n + 25 = b₁ • q^n-1 + 25; b_n+1 + 27 = b₁ • qⁿ + 27; b_n+2 + 1 = b₁ • qⁿ⁺¹ + 1.

Скористаємося властивістю членів арифметичної прогресії:

1117. b₁, b₁q, b₁q² — утворюють геометричну прогресію;

b₁, b₁q + 2, b₁q² — утворюють арифметичну прогресію;

b₁+ b₁q² = 2(b₁q + 2);

b₁ + b₁q² - 2b₁q = 4;

b₁(1 - 2q + q²) = 4;

b₁(1 - q)² = 4.

b₁, b₁q + 2, b₁q² + 16 — утворюють геометричну прогресію;

(b₁q + 2)² = b₁(b₁q² + 16);

(b₁q + 2)² = b₁²q² + b₁ • 16;

b₁²q² + 4b₁q + 4 = b₁²q² + 16b₁;

4b₁q + 4 = 16b₁;

16b¹ - 4b₁q = 4;

4b₁ - b₁q = 1;

b₁(4 - q) = 1.

1118. Нехай Р₀ — обсяг продукції до збільшення, тоді маємо:

До розділу 4

1119. Розставимо книги таким чином: першою буде книга з фізики, другою — дві книги з математики; потім — книга з фізики і дві книги з математики і т. д. Таким чином мі розставимо 48 книг, потім поставимо останньою книгу з фізики, а останню книгу з математики додамо до якоїсь однієї пари книг з математики. Таким чином, найбільшою кількістю книжок з фізики, що можна розставити вказаним чином, становить 17.

Відповідь: 17.

1120. Квадрат містить 2017² клітинок, а зафарбованих клітинок 2017 + 2016, тоді не зафарбованих клітинок буде 2017² - 2017 - 2016 = 2017(2017 - 1) - 2016 = 2017 • 2016 - 2016 = 2016(2017 - 1) = 2016². Отже, ймовірність того, що вибрана клітинка є не зафарбованою, дорівнює