ГДЗ до підручника «Алгебра» О.С. Істера. 9 клас
1101. Оскільки a, b, с — послідовні члени арифметичної прогресії, то b = a + d; c = a + 2d.
а2 + ab + b2 = а2 + а(а + d) + (а + d)2 = а2 + а2 + ad + а2 + 2ad + d2 = 3а2 + 3ad + d2;
а2 + ас + с2 = а2 + а(а + 2d) + (a + 2d)2 = a2 + a2 + 2ad + a2 + 4ad + 4d2 = 3a2 + 6ad + 4d2;
b2 + bc + с2 = (a + d)2 + (а + d)(a + 2d) + (a + 2d)2 = a2 + 2ad + d2 + a2 + 3ad + 2d2 + a2 + 4ad + 4d2 = 3a2 + 9ad + 6d2.
1102. Нехай сторони прямокутного трикутника а; а + d; а + 2d (гіпотенуза), тоді (а + 2d)2 = (а + d)2+ a2; a2 = 4ad + 4d2 = a2 + 2ad + d2 + a2; a2 - 2ad - 3d2 = 0; 3d2 + 2ad - a2 = 0. Розв’яжемо рівняння відносно d: D = 4a2 + 12a2 = 16a2;
1103. Задамо рівняння кола з центром у точці А(-6; 8) і радіусом Rn: (х + 6)2 + (y - 8)2 = Rn2; (х + 6)2 + (у - 8)2 = 1,62; (х + 6)2 + (y - 8)2 = (1,6 - 0,4(n - 1))2. Перевіримо, чи проходить коло через точку (0; 0): 62 + 82 = (0,4n + 1,2)2; 102 = (0,4n + 1,2)2; 10 = 0,4n + 1,2; 8,8 = 0,4n; 4n = 88; n = 22.
Відповідь: n = 22.
1104. а2m + а2k = 0;
а2m = а1 + (2m - 1)d;
а2к = а1+ (2k - 1)d;
a2m + a2k = a1 + 2md - d + a1 + 2kd - d = 0;
2a1 + 2md + 2kd - 2d = 0;
a1 + md + kd - d = 0;
a1 + (m + k)d - d = 0;
a1 + (m +k - 1)d = 0;
am+k = 0;
1106. Sn+1 - Sn = an+1; 2(n + 1)2 + 3(n + 1) - 2n2 - 3n = 2n2 + 4n + 2 + 3n + 3 - 2n2 - 3n = 4n + 5. Лінійна функція задає арифметичну прогресію.
Відповідь: 4.
1107. Нехай хn — послідовність чисел: 1, 8, 22, 43, ..., а аn — арифметична прогресію: 7, 14, 21, ... .
(14 + 7(n - 1)) • n = 70700; 7(2 + n - 1) • n = 70700; (1 + n) • n = 10100; n2 + n - 10100 = 0; n1 = 100; n2 = -101. Отже, в послідовності yn35361 має номер 100, тоді в послідовності хn 35351 має номер 101.
Відповідь: 101.
1108. аn — найбільший член. За умовою а4 = а12 + а22 + а32
або a1 + 3d = a12 + (a1 + d)2 + (a1 + 2d)2 = 3а12 + 6a1d + 5d.
Маємо рівняння:
3а12 + (6d - 1)a1 + 5d2 - 3d = 0.
Звідси
1109. Нехай одна із сторін трикутника дорівнює а, тоді дві другі — aq і aq2.
