Фізика і астрономія. Рівень стандарту. 11 клас. Сиротюк

Цей підручник можна завантажити у PDF форматі на сайті тут.

Розділ 2. Коливання та хвилі

Ми живемо у світі, де відбуваються різноманітні коливання, в усіх напрямках поширюються механічні й електромагнітні хвилі. Без них ми б нічого не бачили, не чули б, не могли б слухати радіо, дивитися передачі по телевізору. Сьогодні важко уявити, як люди раніше обходилися без радіо- та мобільного зв’язку. У цьому розділі ви ознайомитеся з фізичними основами, які описуть коливання і хвилі.

§ 19. Коливальний рух. Гармонічні коливання

Як ви вже знаєте з попередніх класів, коливаннями або коливальними рухами називають такі види механічного руху чи зміни стану системи, які періодично повторюються в часі. Наприклад, механічні коливання тіла на пружині, коливання маятників, коливання струн, вібрації фундаментів будівель, електромагнітні коливання в коливальному контурі.

За фізичною природою коливання поділяють на механічні та електромагнітні, за характером коливань — на вільні, вимушені та автоколивання. Хоча коливання досить різноманітні за своєю фізичною природою, але вони мають спільні закономірності й описуються однотипними математичними методами.

Коливання притаманні всім явищам природи. Пульсують зорі й обертаються планети Сонячної системи, у земній атмосфері та йоносфері циркулюють потоки заряджених і нейтральних частинок, вітри збуджують коливання і хвилі на поверхні водойм. Усередині будь-якого живого організму безперервно відбуваються процеси, які ритмічно повторюються, наприклад биття серця.

Світло — це також коливання, але електромагнітні. За допомогою електромагнітних коливань, які поширюються в просторі, можна здійснювати радіозв’язок, радіолокацію, передавати телевізійні передачі, а також лікувати деякі хвороби.

Наведені приклади механічних і електромагнітних коливань з першого погляду мають мало спільного. Проте під час їх дослідження було виявлено цікаву закономірність: різні за фізичною природою коливання описуються однаковими математичними рівняннями, що значно полегшує їх вивчення.

Пристрої, у яких можуть здійснюватися коливання, називають коливальними системами. Будь-яка коливальна система має положення рівноваги. Нерухома система обов’язково перебуває в такому положенні. Сама по собі система не може вийти з положення рівноваги, для цього потрібний вплив зовнішньої сили.

Серед усіх різноманітних форм коливань важливе місце належить гармонічним коливанням. Гармонічні коливання — це найпростіші періодичні коливання. Більшість коливань, які трапляються на практиці, складні. З курсу математики відомо, що будь-яке складне періодичне коливання є сумою найпростіших гармонічних коливань (гармонік). Гармонічні коливання — єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється у процесі відтворення.

Коливання, під час яких величини, що їх описують, змінюються із часом за законом синуса або косинуса, називають гармонічними.

Переконаємося в цьому за допомогою кульки, яка ковзає вздовж осі Ох, під дією сили пружності пружини F = -kx.

Коливання кульки можна розглядати як проекцію колового руху кульки (мал. 2.1) на вісь Ох. Нехай А — рухомий радіус допоміжного кола, що відповідає найбільшому відхиленню кульки від положення рівноваги х_mах. Якщо обертати кульку по колу з такою кутовою швидкістю ω, щоб проекція її руху збігалася з рухом кульки під дією сили пружності пружини, то її миттєве положення буде визначатися рівністю х = х_mах cos φ.

Мал. 2.1

Під час обертання рухомого радіуса зі сталою кутовою швидкістю ω кут φ між радіусом і віссю Ох збільшується прямо пропорційно до часу: φ = ωt.

Проекція х рухомого радіуса на вісь Ох змінюватиметься за законом:

x = x_max cos φ = x_max cos ωt.

Аналогічно можна також порівняти коливання тіні кульки, закріпленої на диску, який обертається зі сталою кутовою швидкістю , і кульки пружинного маятника (мал. 2.2). Можна підібрати таку швидкість обертання диска, що рух тіні кульки на екрані повністю збігатиметься з рухом кульки пружинного маятника. Так само можна показати, що проекція рухомого радіуса диска ОМ на вертикальний діаметр змінюватиметься за законом:

х = х_mах sin φ = x_m_ах sin ωt.

Мал. 2.2

Проекції рухомого радіуса в обох описаних випадках можна розглядати як координати кульки, яка обертається по колу.

Таким чином, у зазначених випадках координата тіла, яке здійснює вільні коливання, змінюється із часом за законом синуса або косинуса. Графіком залежності координати тіла від часу відповідно до х = х_mах cos ωt є косинусоїда, зображена на малюнку 2.3.

Мал. 2.3

Важливою характеристикою коливального руху є амплітуда.

Амплітудою гармонічних коливань називають модуль найбільшого зміщення тіла (коливальної системи) від положення рівноваги.

Амплітуда може мати різні значення залежно від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу, і від того, яка швидкість надається при цьому тілу. Іншими словами, амплітуда визначається початковими умовами і дорівнює множнику біля синуса чи косинуса функції, який відповідає цьому коливальному процесу.

Через інтервал часу, що дорівнює періоду Т, тобто зі збільшенням аргументу косинуса на ωΤ рух повторюється і косинус набуває попереднього значення. З математики ви знаєте, що найменший період косинуса 2π.

Таким чином, величина ω — це кількість коливань тіла, але не за одну секунду, а за 2π секунд. Її називають циклічною, або коловою, частотою.

При заданій амплітуді гармонічних коливань координата коливного тіла в будь-який момент часу однозначно визначається аргументом косинуса (або синуса) φ = ωt.

Величину φ, яка стоїть під знаком косинуса або синуса, називають фазою коливань, що описуються цими функціями.

Одиницею фази є радіан або градус.

Від фази залежить значення не лише координати, а й швидкості, і прискорення, що змінюються також за гармонічним законом. Тому можна сказати, що при заданій амплітуді фаза визначає стан коливальної системи у будь-який момент часу.

Будь-якому значенню часу, вираженому в частинах періоду, відповідає значення фази, виражене в радіанах.

На графіку можна зобразити залежність координати коливної точки не від часу, а від фази. На малюнку 2.4 показано ту саму косинусоїду, що й на малюнку 2.3, але на горизонтальній осі відкладено різні значення фази φ.

Мал. 2.4

Ви вже знаєте, що для гармонічних коливань координата тіла змінюється із часом відповідно до закону косинуса або синуса. Проте при цьому слід врахувати поняття фази.

Проте при цьому початкова фаза, тобто значення фази в момент t = 0, дорівнюватиме не нулю, а

Зазвичай коливання тіла на пружині (або маятнику) збуджують, виводячи його з положення рівноваги, а потім відпускають. У початковий момент зміщення від положення рівноваги є максимальне, тому описувати коливання зручніше формулою x = x_max cos ωt, використовуючи косинус.

Інша річ, коли коливання тіла, що перебуває у стані спокою, збуджують короткочасним поштовхом. Тоді в початковий момент координата дорівнює нулю, і коливання зручніше описувати формулою з використанням синуса х = х_mах sin ωt, тому що при цьому початкова фаза дорівнює нулю.

Коливання, описані рівняннями

різняться між собою лише фазами. Різниця фаз (зсув фаз) цих коливань дорівнює

На малюнку 2.5 показано графіки залежності координат від часу для двох гармонічних коливань, зсунутих за фазою на

Мал. 2.5

Графік 1 відповідає коливанням, що відбуваються відповідно до закону синусоїди х = х_mах sin ωt, а графік 2 — коливанням, що відбуваються відповідно до закону косинусоїди

Щоб визначити різницю фаз двох коливань, їх треба записати через одну тригонометричну функцію (косинус або синус). У гармонічних коливаннях координати тіла його швидкість і прискорення також змінюються гармонічно. Проекція швидкості на вісь Ох має такий вигляд:

Швидкість під час гармонічних коливань змінюється із часом гармонічно, але коливання швидкості випереджають за фазою коливання координати на

У момент, коли координата дорівнює нулю (момент проходження положення рівноваги), модуль швидкості — максимальний, і, навпаки, швидкість дорівнює нулю, коли координата максимальна за модулем (мал. 2.6, а, б). Максимальне значення швидкості за модулем, тобто амплітуду коливань швидкості, можна записати через амплітуду зміщення у вигляді v_m_ах = ωx_m_ах.

Мал. 2.6

Проекція прискорення на вісь Ох:

^а_х = ω²x_maxcos(ωt + п).

Під час гармонічних коливань прискорення змінюється гармонічно. Амплітуда прискорення а_mах = ω²х_max.

За фазою коливання прискорення випереджають коливання координати на π.

Прискорення і координата за модулем набувають максимального значення одночасно, але мають протилежні знаки. У такому разі кажуть, що коливання відбуваються у протифазі (мал. 2.6, а, в).

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО