§ 29. Застосування законів збереження в механіці

Розв’язання багатьох практичних задач значно спрощується, якщо скористатися законами збереження - законом збереження імпульсу та законом збереження і перетворення енергії. Адже ці закони можна використовувати й тоді, коли сили, які діють у системі, є невідомими.

Закони збереження імпульсу й енергії обов’язово потрібно використовувати в практичних цілях. Покажемо це на прикладі розв’язання задач.

Задача 1. Учасник атракціону з банджі-джампінгу здійснює стрибок з моста (мал. 84). Яка жорсткість гумового канату, прив’язаного до спортсмена, якщо під час падіння канат розтягнувся від 40 до 100 м? Маса спортсмена 72 кг, початкова швидкість його руху дорівнює нулю. Опором повітря знехтуйте.

Мал. 84. Учасник атракціону з банджі-джампінгу здійснює стрибок

Розв’язання

Якщо опором повітря нехтуємо, то систему тіл «Земля-людина-шнур» можна вважати замкненою і для розв’язання задачі скористаємося законом збереження механічної енергії. На початку стрибка людина має потенціальну енергію піднятого тіла, у найнижчій точці ця енергія перетворюється на потенціальну енергію деформованого шнура.

Для розв’язання задачі виконаємо малюнок, на якому зазначимо початкове та кінцеве положення людини. За нульовий рівень оберемо найнижче положення людини (шнур розтягнений максимально, швидкість руху людини дорівнює 0).

Запишемо закон збереження механічної енергії:

E_к0 + Е_п0 = E_к + Е_п.

Розглянемо зміну механічної енергії.

До стрибка: оскільки ν₀= 0, то Е_к0 = 0, а Е_п0 = mgh, де h = l - довжина розтягнутого шнура;

після стрибка: оскільки v₀ = 0, то Е_к = 0, а Е_п = kx²/2, де х = l - l₀ - видовження шнура.

Чи грали ви в більярд? Спробуємо описати один з випадків зіткнення більярдних куль, а саме пружний центральний удар - зіткнення, під час якого втрати механічної енергії відсутні, а швидкості руху куль до і після удару напрямлені вздовж прямої, що проходить через центри куль.

Задача 2. Куля, яка рухалася більярдним столом зі швидкістю 5 м/с, зіштовхується з нерухомою кулею такої самої маси (мал. 85). Визначте швидкості руху куль після зіткнення. Удар вважайте пружним центральним.

Мал. 85

Розв’язання

Систему двох куль можна вважати замкненою, удар є пружним, тому втрати механічної енергії відсутні. Отже, для розв’язання задачі можна використати і закон збереження механічної енергії, і закон збереження імпульсу. Оберемо за нульовий рівень поверхню стола. У даному випадку потенціальні енергії куль до і після удару дорівнюють нулю, тому повна механічна енергія системи і до, і після удару складається тільки з кінетичних енергій куль.

Для розв’язання задачі виконаємо малюнок, на якому зазначимо положення куль до і після удару.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

1. Яке практичне значення мають закони збереження імпульсу й енергії?
2. Наведіть приклади використання законів збереження імпульсу й енергії у спорті.

Зміст