Фізика. Профільний рівень. 11 клас. Гельфгат

§ 15. Отримання зображень. Лінзи та оптичні системи

1. Дійсні та уявні зображення. Зображення в плоскому дзеркалі

Перш за все уточнимо поняття зображення. Адже численні оптичні пристрої призначені саме для утворення зображень. Але за певних умов світло, що проходить крізь оптичну систему, не утворює зображення (рис. 15.1). То що ж таке зображення у загальному випадку?

Рис. 15.1. Спеціальне скло чудово пропускає світло, але розгледіти щось крізь нього неможливо — світло, що проходить, не утворює зображення

Припустимо, на оптичну систему падає розбіжний пучок променів, що вийшли з однієї точки А. Система дає зображення A₁ цієї точки у двох випадках (рис. 15.2):

• пучок стає збіжним, промені перетинаються в точці А₁ (цю точку називають дійсним зображенням);
• пучок лишається розбіжним, проте продовження променів перетинаються в точці A₁ (цю точку називають уявним зображенням). Якщо частина променів потрапляє нам в очі, ми сприйматимемо їх як такі, що вийшли з точки А₁, тобто «побачимо» світну точку А₁.

Рис. 15.2. Утворення зображення: а — дійсного; б — уявного

Нагадаємо, як утворюється зображення в плоскому дзеркалі. Зображення будь-якого предмета складається із зображень його окремих точок. Тому розглянемо спочатку світну точку А, що розташована перед плоскою дзеркальною поверхнею (рис. 15.3). Побудуємо хід довільного променя, що виходить із точки А та відбивається від дзеркала. Подовжимо відбитий промінь до перетину його з перпендикуляром, проведеним із точки А до площини дзеркала. Позначимо точку перетину А₁. Кут DAC дорівнює куту падіння променя а, а кут DA₁C дорівнює куту відбивання β. Оскільки за другим законом відбивання світла α = β, кути DAC і DА₁С є рівними. Отже, прямокутні трикутники DAC і DА₁С мають спільний катет DC і рівні гострі кути. Доходимо висновку, що ці трикутники рівні, тому DA = DA₁.

Рис. 15.3. Відбивання від плоского дзеркала

Це означає, що точки А і А₁ розташовані симетрично відносно площини дзеркала.

Ми отримали цей висновок для довільного променя від точки А, що зазнав відбивання від дзеркала. Усі такі промені після відбивання утворюють розбіжний пучок, а продовження цих променів перетинаються в точці A₁ (рис. 15.4). Отже, точка A₁ є уявним зображенням точки А. Так само з окремих точок утворюються й зображення протяжних предметів. Зображення предмета в плоскому дзеркалі є уявним, рівним за розміром самому предмету, зображення розташоване симетрично предмету відносно площини дзеркала (рис. 15.5).

Рис. 15.4. Уявне зображення А₁ світної точки А в плоскому дзеркалі

Рис. 15.5. Уявне зображення А₁В₁ предмета АВ в плоскому дзеркалі

2. Лінзи

Лінза є одним з головних елементів більшості сучасних оптичних пристроїв. Ви вже вивчали лінзи в 9 класі, тому нагадаємо основні поняття. Сферична лінза — це прозоре тіло, обмежене двома сферичними поверхнями. Зазначимо, що плоску поверхню теж можна розглядати як граничний випадок сферичної (коли радіус стає безкінечно великим). Лінзу називають опуклою, якщо її товщина посередині більша, ніж біля країв; якщо товщина лінзи посередині менша, ніж біля країв, лінзу називають увігнутою (рис. 15.6).

Рис. 15.6. Сферичні лінзи різної форми

Ми розглядатимемо тільки тонкі лінзи (тобто такі, товщиною яких можна знехтувати). Для таких лінз можна користуватися поняттям площини лінзи. Оптичний центр О лінзи (рис. 15.7) лежить на перетині площини лінзи з головною оптичною віссю — прямою, на якій лежать центри сферичних поверхонь лінзи. Якщо спрямувати на лінзу пучок світла паралельно головній оптичній осі, то після заломлення світла в лінзі можливий один із двох результатів: отримаємо або збіжний пучок променів, які перетинаються на головній оптичній осі, або розбіжний пучок променів, продовження яких теж перетинаються на головній оптичній осі (рис. 15.8). Відповідно до цього лінзи поділяють на збиральні та розсіювальні (на рисунку наведено їх умовні позначення). Точку перетину променів або їх продовжень у цьому випадку називають фокусом лінзи (відповідно дійсним або уявним) та позначають F. Відстань між оптичним центром і фокусом лінзи теж позначають F. Будемо вважати F > 0 для дійсного фокуса і F < 0 — для уявного. Очевидно, що чим більше змінюються напрями променів після проходження лінзи, тим менша відстань між оптичним центром і фокусом лінзи.

Рис. 15.7. Головна оптична вісь, оптичний центр, площина тонкої лінзи

Рис. 15.8. Збиральна (а) та розсіювальна (б) лінзи

Кожна лінза має два фокуси, розташовані по різні боки від неї. Хоч сама лінза може бути несиметричною, як це й показано на рис. 15.6, фокуси розташовані на однакових відстанях від оптичного центра лінзи, якщо обидві поверхні лінзи розташовані в одному середовищі.

Нагадаємо також, що опукла лінза — не завжди збиральна, а ввігнута — не завжди розсіювальна. Характер заломлення світла залежить не тільки від форми лінзи, а й від оптичної густини її матеріалу. Якщо оптична густина середовища більша за оптичну густину матеріалу лінзи, то опукла лінза є розсіювальною (рис. 15.9).

Рис. 15.9. Скляні та повітряні лінзи у воді

Найбільш важлива для нас властивість лінз — вони здатні створювати зображення світних точок і відповідно предметів (рис. 15.10). Спостерігач сприйматиме зображення А_1, якщо йому в очі потрапляє розбіжний пучок променів. У випадку дійсного зображення є ще одна можливість: якщо у точці A₁ поставити екран, який розсіює відбите світло, то спостерігати зображення A₁ можна буде з будь-якої точки перед цим екраном.

Рис. 15.10. Дійсне (а) та уявне (б) зображення, отримані за допомогою лінзи

Щоб знайти зображення точки, досить знайти перетин двох променів, які вийшли з цієї точки та зазнали заломлення в лінзі. Які саме промені для цього вибрати — не має значення, тому найчастіше вибирають один із трьох «зручних» променів (рис. 15.11). За допомогою цих променів можна побудувати зображення світних точок або предметів, які розташовані перед лінзою.

Рис. 15.11. Хід «зручних» променів у лінзах: 1 — промінь, паралельний головній оптичній осі лінзи; 2 — промінь, що проходить через оптичний центр лінзи (після двох заломлень він зберігає початковий напрям); 3 — промінь, що проходить через фокус або напрямлений у фокус (якщо змінити його напрям на протилежний, отримаємо промінь, аналогічний променю 1)

Отримаємо на екрані дійсне зображення ярко освітленого предмета. Будемо потроху закривати лінзу: спочатку верхній край, потім верхню половину, потім три чверті. Ми побачимо, що зображення на екрані лишається «цілим», проте яскравість усіх його частин поступово зменшується. Це переконливо свідчить, що зображення кожної точки «малюють» не якісь «вибрані» промені, а безліч променів від цієї точки, які пройшли через лінзу.

Вивчаючи оптику в 9 класі, ви дізналися про формулу тонкої лінзи, яка дозволяє без геометричних побудов визначити положення зображення. Нагадаємо цю формулу та фізичний зміст застосованих у ній величин. На рис. 15.12 показано світну точку А, що розташована на відстані d від площини тонкої збиральної лінзи та на відстані h від головної оптичної осі лінзи. Зображення А₁ цієї точки (у даному випадку це дійсне зображення) знаходиться на відстані f від площини лінзи та на відстані Н від її головної оптичної осі. Величини h i Н можна розглядати відповідно як розміри стрілки АВ, перпендикулярної до головної оптичної осі лінзи, та її зображення А₁В₁.

Рис. 15.12. Предмет АВ і його зображення Α₁Β₁. Червоним показано промені, що утворюють зображення А₁ точки А

У загальному випадку лінза може бути розсіювальною, а зображення — уявним. Проте формулу тонкої лінзи завжди можна записати у наведеному вище вигляді, якщо вважати, що значення величин можуть бути від’ємними: F < 0 відповідає уявному фокусу (розсіювальній лінзі), f < 0 — уявному зображенню. Може бути навіть d < 0, що відповідає «уявному предмету». Таке можливо, якщо на лінзу падає збіжний пучок променів (рис. 15.13), який за відсутності лінзи зійшовся б у певній точці. Збіжний пучок може виникнути, якщо перед нашою лінзою є інша збиральна лінза.

Рис. 15.13. Збіжний пучок променів відповідає уявній світній точці

3. Лінзи та принцип Ферма. Аберації

Давайте розберемося, як узгоджуються властивості лінз із принципом Ферма. «Попутно» ми отримаємо важливу формулу, яка пов’язує оптичну силу лінзи з її формою. Для простоти обмежимося випадком двоопуклої лінзи, що дає дійсне зображення A₁ світної точки А, розташованої на головній оптичній осі (рис. 15.14). Позначимо R₁ і R₂ радіуси сферичних поверхонь лінзи, n — показник заломлення матеріалу лінзи відносно навколишнього середовища.

Рис. 15.14. Двоопукла лінза, що дає дійсне зображення світної точки (товщину лінзи на рисунку набагато збільшено для наочності). Відстані d, f відраховуються від площини перетину сферичних поверхонь лінзи

Усі промені, що вийшли з точки А та пройшли крізь лінзу, збираються в зображенні А₁.

Розглянемо тільки дві траєкторії світла (рис. 15.15): уздовж головної оптичної осі лінзи та через самий край лінзи. Відповідно до принципу Ферма поширення світла від А до A₁ в обох випадках потребує однакового часу. Таке можливо, хоч відрізок AA₁ коротший від ламаної ABA₁: адже швидкість світла всередині лінзи в n разів менша від швидкості v світла в навколишньому середовищі.

Рис. 15.15. Виводимо формулу тонкої лінзи з принципу Ферма. Відрізки ОС₁ і ОС₂ надалі позначені відповідно h₁ і h₂

Прямолінійне поширення світла вздовж відрізку AA₁ потребує часу

Якщо поверхня лінзи випукла не назовні, а всередину, то відповідний радіус слід уважати від’ємним. З наведеної формули випливають наслідки, про які ви вже знаєте: наприклад, «перетворення» збиральної лінзи на розсіювальну в середовищі з більшою оптичною густиною (див. рис. 15.9, де показані випадки n > 1 і n < 1).

Промені, що проходять крізь лінзу на більших відстанях від її головної оптичної осі, відхиляються не так, як близькі до цієї осі промені. «Зображення», утворені різними пучками променів, не збігаються, тому на екрані замість маленької освітленої «точки» утворюється світла пляма (рис. 15.16, а). Розглянуте відхилення від «ідеального» утворення зображень називають сферичною аберацією.

Сферичну аберацію можна зменшити, зменшуючи розмір лінзи або застосовуючи діафрагму (тобто пропускаючи крізь лінзу вузький світловий пучок).

У лінзах спостерігається також хроматична аберація, зумовлена дисперсією світла: різні «складові» білого світла заломлюються по-різному (рис. 15.16, б).

Рис. 15.16. Схематична ілюстрація аберації: сферичної (а) та хроматичної (б)

Фахівці з оптики навчилися також значно послаблювати аберації, складаючи системи з кількох різних лінз. Певний підбір цих лінз майже забезпечує взаємну «компенсацію» їх аберацій.

Підбиваємо підсумки

Якщо промені від світної точки А, пройшовши оптичну систему, перетинаються в одній точці А₁, то вони утворюють дійсне зображення точки А. Якщо такі промені утворюють розбіжний пучок і їх продовження перетинаються в точці А₁, то ця точка є уявним зображенням точки А. Із зображень окремих точок складається зображення предмета.

Плоске дзеркало дає уявне зображення, рівне за розміром самому предмету та розташоване симетрично предмету відносно площини дзеркала.

Контрольні запитання

1. Що таке дійсне зображення? уявне зображення? 2. Дайте характеристику зображення, отриманого за допомогою плоского дзеркала. 3. Що таке лінза? оптичний центр лінзи? фокус лінзи? 4. Накресліть «зручні» промені для збиральної та розсіювальної лінз. 5. Запишіть формулу тонкої лінзи. 6. Чим зумовлені сферична та хроматична аберації лінз?

Вправа № 15

1^R. Побудуйте зображення світних точок А, В, С в плоскому дзеркалі (рис. 1).

Рис. 1

2^R. Визначте побудовою, звідки можна побачити повне зображення предмета АВ у плоскому дзеркалі (рис. 2).

Рис. 2

3^R. Лінза з оптичною силою 10 дптр дає збільшене в 2 рази зображення предмета. Визначте відстань між предметом і лінзою.

4^R. Побудуйте зображення предмета АВ у збиральній лінзі (рис. 3). Дайте характеристику зображення (дійсне воно чи уявне, збільшене чи зменшене, пряме чи обернене).

Рис. 3

5^R. Яка лінза може давати збільшені уявні зображення?

6. Лампа висить на висоті 1,8 м над підлогою. За допомогою лінзи на підлозі точно під лампою отримали її чітке зображення. Коли лінзу підняли вище на 1,2 м, на підлозі з’явилося інше зображення лампи. Визначте оптичну силу лінзи.

7. За лінзою з оптичною силою 5 дптр на відстані 35 см розмістили плоске дзеркало, перпендикулярне до головної оптичної осі лінзи. Світна точка розташована перед лінзою на відстані 40 см від неї. Світло проходить крізь лінзу, відбивається від дзеркала та ще раз проходить крізь лінзу. На якій відстані від лінзи утворюється зображення?

Експериментальні завдання

1. Наповніть пластикову пляшку водою, отримавши тим самим приблизно циліндричну лінзу. Дослідіть, як проходить крізь таку лінзу паралельний пучок світла.

2. Помістіть на тонку прозору плівку кілька різних за розмірами крапель прозорого клею. Після висихання клею виміряйте оптичну силу отриманих лінз, визначте показник заломлення клею.