Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 32. Потенціал електричного поля

1. Робота при переміщенні заряду в електростатичному полі

Розгляньмо переміщення «пробного» точкового заряду q в електростатичному полі. Щоб поле було електростатичним, заряди, які його створюють, мають бути нерухомими. Тому «пробний» заряд q має бути малим, щоб його переміщення не спричинило переміщення інших зарядів і внаслідок цього — зміну електричного поля.

Уявімо, що заряд перемістився по замкненій траєкторії В1С2В (рис. 32.1), тобто його кінцеве положення збігається з початковим (це точка В). Тоді початковий і кінцевий стани системи нічим не відрізняються. Отже, енергія електростатичного поля не змінилася. А це означає, що поле не виконало роботи.

Рис. 32.1. Робота електростатичного поля під час переміщення заряду по замкненій траєкторії дорівнює нулю

• Під час переміщення заряду по замкненій траєкторії робота електростатичного поля дорівнює нулю.

Рис. 32.2. Якщо переміщати заряд будь-якою з траєкторій від точки В до точки С, робота електростатичного поля буде однаковою

2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів

Як ви вже знаєте, роботу потенціальної сили під час переміщення тіла з точки 1 у точку 2 можна виразити через потенціальні енергії тіла у цих точках: A = W_p1 - W_p2. Оскільки W_p1 = qφ₁, W_p2 = qφ₂, отримуємо співвідношення A = q(φ₁ - φ₂). Величину φ₁ - φ₂ називають різницею потенціалів точок 1 і 2. Для електростатичного поля цю величину називають також напругою і позначають U. Отже, напруга U = φ₁ - φ₂ визначає роботу електростатичного поля під час переміщення заряду: А = qU.

• Напруга (різниця потенціалів) між точками 1 і 2 чисельно дорівнює роботі електростатичного поля під час переміщення одиничного позитивного заряду з точки 1 у точку 2.

Одиницею напруги, як і потенціалу, є вольт.

Потенціал (як і потенціальну енергію) не можна виміряти безпосередньо. Значення потенціалу залежить від вибору так званого нульового рівня — точки, у якій потенціал уважають рівним нулю. Якщо змінити вибір нульового рівня, значення потенціалів усіх точок зміняться, проте напруга між будь-якими двома точками не зміниться. Отже, не зміняться величини, які можна виміряти експериментально. Під час розгляду поля системи зарядів найчастіше нульовий рівень вибирають дуже далеко від зарядів («на нескінченності»).

Навколо фізики

Повітря, яким ми дихаємо, містить заряджені частинки — йони. Вміст йонів залежить від пори року, чистоти повітря та метеорологічних умов. Ці частинки, нібито непомітні для нас, відіграють важливу роль у життєдіяльності: як показали досліди, видалення йонів негативно впливає на здоров’я піддослідних тварин. Уважають, що корисними є негативні йони. Концентрація таких йонів у горах становить близько 10⁴ см^-3, на березі океану або в лісі щонайменше 3 • 10³ см^-3, а от на міських вулицях — лише від 100 до 500 см^-3. Концентрація йонів значно вища поблизу водопадів або фонтанів. Удома збільшити концентрацію йонів у повітрі можна за допомогою спеціальних йонізаторів.

3. Зв'язок напруженості з різницею потенціалів

Між силовою та енергетичною характеристиками поля існує зв’язок. Щоб встановити його, розгляньмо спочатку роботу поля під час переміщення позитивного заряду q в однорідному полі (рис. 32.3).

Рис. 32.3. Різниця потенціалів між точками А і В дорівнює Ed. Під час переміщення в напрямі силових ліній потенціал зменшується

З одного боку, ця робота дорівнює А = q(φ₁ - φ₂). З другого боку, ми можемо виразити цю роботу через напруженість поля. Для цього замінимо криволінійну траєкторію відрізком прямої між точками 1 і 2 (робота не залежить від форми траєкторії). Робота А = Fscosα = qEscosα. Прирівнюючи два останніх вирази для роботи, отримуємо φ₁ - φ₂ = Escosα. Зазначимо, що d = scosα — проекція переміщення на напрям силових ліній.

Отже, остаточно U = φ₁ - φ₂ = Ed. Ви легко можете переконатися, що розгляд переміщення негативного заряду дав би такий самий результат. Отриманий результат справедливий і для малих переміщень у неоднорідному полі (на короткому відрізку поле «не встигає» суттєво змінитися).

Подивимося на наслідки цього співвідношення. Перш за все з нього видно, що одиницю напруженості можна записати як В/м (вище ми наводили це твердження без доказу). Крім того, якщо d > 0 (тобто переміщення відбувається за напрямом силових ліній), φ₁ - φ₂ > 0, тобто потенціал зменшується.

Отже, силові лінії електростатичного поля напрямлені в бік зменшення потенціалу. Чим більша напруженість, тим швидше зменшується потенціал під час переміщення вздовж силової лінії (напруженість характеризує швидкість зміни потенціалу).

Зверніть увагу!

Цікаво, як поводяться розглянуті характеристики поля там, де поля немає. Відсутність поля означає, що на заряд не діятимуть кулонівські сили. Отже, напруженість поля дорівнює нулю. А от про потенціал поля такого впевнено сказати не можна!

Отримане вище співвідношення свідчить лише, що для будь-яких двох точок 1 і 2 у цій ділянці φ₁ = φ₂, тобто потенціали всіх точок цієї ділянки однакові. Звідси випливає, що всі точки провідника в електростатичному полі мають один і той самий потенціал, тобто замість потенціалу окремої точки можна говорити про потенціал провідного тіла. А якщо з’єднати два провідники металевим дротом, заряди перетікатимуть з одного провідника на другий доти, доки їх потенціали не зрівняються.

Отже, після заземлення будь-який провідник матиме такий самий потенціал, як і Земля. У технічних розрахунках досить часто саме цей потенціал уважають рівним нулю.

Для вимірювання різниці потенціалів між двома провідниками можна застосувати електрометр (рис. 32.4), про який ви дізналися з курсу фізики 8 класу. Треба приєднати один провідник до стрижня електрометра, а другий — до його металевого корпусу. Тоді різниця потенціалів між стрижнем і корпусом буде такою самою, як між провідниками. Саме ця різниця потенціалів цілком визначає вигляд електричного поля всередині корпуса та розподіл зарядів на поверхні стрілки (можна вважати, що зовнішнє поле не проникає через металевий корпус). Отже, сили, які діють на стрілку, залежать тільки від вимірюваної різниці потенціалів. Тому за відхиленням стрілки можна визначити саме різницю потенціалів.

Рис. 32.4. Відхилення стрілки електрометра залежить від різниці потенціалів між стрижнем і корпусом

Існують поверхні, які в кожній точці утворюють прямий кут із силовими лініями електричного поля. Якщо траєкторія руху належить такій поверхні, напруга між будь-якими двома точками траєкторії дорівнюватиме нулю, тобто потенціали всіх точок поверхні однакові. Такі поверхні називають еквіпотенціальними. В однорідному полі це площини, перпендикулярні до силових ліній; у полі точкового заряду — це концентричні сфери, центри яких збігаються із зарядом; у загальному випадку поверхні можуть мати різні форми (рис. 32.5, а-в).

• Поверхня будь-якого провідника в електростатичному полі є еквіпотенціальною.

Рис. 32.5. Еквіпотенціальні поверхні (червоні штрихові лінії) перпендикулярні до силових ліній. Різниця потенціалів для всіх сусідніх еквіпотенціальних поверхонь однакова

З принципу суперпозиції випливає, що потенціал поля системи точкових зарядів є сумою потенціалів, створених кожним із зарядів:

φ = φ₁ + φ₂ + ... + φ_n.

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача. Заряджена частинка рухається в електростатичному полі. У точці з потенціалом φ₁ = 70 В швидкість частинки v₁ = 100 км/с. Визначте швидкість частинки ν₂в точці з потенціалом φ₂ = 120 В. Розгляньте два випадки: а) частинка є протоном; б) частинка є електроном. Маси протона та електрона відповідно 1,7 • 10^-27 і 9,1 • 10^-31 кг.

Щоб правильно підставити числові значення величин, урахуємо, що протон і електрон відрізняються не лише за масами, а й за знаками зарядів: заряд протона дорівнює елементарному електричному заряду е, а заряд електрона -е. Тому під час переходу в точку з вищим потенціалом швидкість протона зменшується, а швидкість електрона збільшується. Після підстановки отримаємо: швидкість протона v_2р = 24 км/с, електрона — v_2e = 4200 км/с (ця швидкість набагато менша від швидкості світла у вакуумі, тому ми можемо не враховувати релятивістські ефекти).

Фізика і техніка в Україні

Львівський центр Інституту космічних досліджень НАН і НКА України

Створений 1996 року. Центр є одним із розробників і виробників датчиків, приладів, інформаційно-вимірювальних систем для космічних і геофізичних досліджень. Проводить дослідження електромагнітних явищ у космічній плазмі, ґрунті та морській воді, акустико-електромагнітних взаємодій в атмосфері та йоносфері; розробляє акустичні випромінювачі великої потужності, бортові системи збору та обробки даних. Створено, наприклад, надлегкі індукційні магнітометри для космічних досліджень, бортові ферозондові та автономні підводні магнітометри, трикомпонентні магнітометри для системи орієнтації мікросупутника. Реалізовано низку успішних експериментів на борту супутників і міжпланетних станцій. Проводяться також дослідження електромагнітних передвісників землетрусів.

Підбиваємо підсумки

Значення потенціалу точки залежить від вибору нульового рівня. Значення напруги між двома точками не залежить від вибору нульового рівня.

Робота однорідного електричного поля А = qEd (де d — проекція переміщення заряду q на силові лінії). Ця формула справедлива і для малих переміщень заряду в неоднорідному електричному полі.

Силові лінії електростатичного поля напрямлені в бік зменшення потенціалу. Напруженість характеризує швидкість зміни потенціалу вздовж силових ліній. Усі точки провідника в електростатичному полі мають однаковий потенціал. Поверхня будь-якого провідника в електростатичному полі є еквіпотенціальною.

Контрольні запитання

1. Який фізичний зміст потенціалу електростатичного поля? 2. Який фізичний зміст різниці потенціалів? 3. Що таке еквіпотенціальні поверхні? 4. Як пов’язані потенціали різних точок провідника в електростатичному полі? 5. За якою формулою можна знайти потенціальну енергію взаємодії двох точкових зарядів?

Вправа № 32

1. Траєкторія переміщення заряду 20 нКл починається в точці з потенціалом 120 В, а закінчується в точці з потенціалом 70 В. Яку роботу виконало електричне поле під час переміщення заряду по цій траєкторії?

2. Яку роботу виконало електростатичне поле під час переміщення електрона, якщо потенціали початкової та кінцевої точок траєкторії дорівнюють відповідно 25 і 75 В?

3. Заряджена частинка перемістилася в електростатичному полі з точки з потенціалом 100 В у точку з потенціалом 200 В. Збільшилася чи зменшилася швидкість руху цієї частинки? Розгляньте випадки, коли заряд частинки: а) позитивний; б) негативний.

4. Поблизу зарядженого тіла існує електричне поле. Що треба зробити, щоб одна з еквіпотенціальних поверхонь поля набула форми поверхні куба?

5. Частинка масою 20 мг, що має заряд 50 нКл, рухається без початкової швидкості під дією електростатичного поля. Визначте кінцеву швидкість частинки, якщо потенціали початкової та кінцевої точок дорівнюють відповідно 8 і 3 кВ. Силу тяжіння не враховуйте.

6. Яку прискорюючу різницю потенціалів має пройти електрон, щоб набути швидкості 1000 км/с? Початкова швидкість електрона дорівнює нулю, маса електрона 9,1 • 10^-31 кг.

7. Протон, який рухається в електростатичному полі, мав у точці А швидкість 90 км/с, а в точці В — швидкість 10 км/с. Визначте потенціал точки В, якщо потенціал точки А дорівнює 7,5 В. Маса протона 1,7 • 10^-27кг.

8. На рисунку наведено еквіпотенціальні поверхні поля позитивного точкового заряду. Чи можуть відповідати цим поверхням такі значення потенціалу: а) φ₁ = 30 В, φ₂ = 25 В, φ₃ = 15 В; б) φ₁ = 30 В, φ₂ = 20 В, φ₃ = 15 В? Обґрунтуйте свою відповідь.

9. Два нерухомих електрони в початковий момент розташовані на відстані 1 нм один від одного. Яких швидкостей набудуть електрони через кулонівське відштовхування?