Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 14. Рівновага та рух рідини та газу. Рівняння Бернуллі

1. Рівновага рідини та газу

Розділ фізики, що вивчає закони рівноваги рідини, називають гідростатикою. Гідростатика ґрунтується на законі Паскаля, що знайомий вам з курсу фізики 7 класу. Цей закон описує передачу тиску всередині рідини. На відміну від твердого тіла, рідина через свою плинність передає тиск у всіх напрямах (на рис. 14.1 це ілюструє дослід з кулею Паскаля, яка має маленькі отвори).

Рис. 14.1. Передача тиску: а — твердим тілом; б — рідиною; в — газом (задимленим повітрям)

Наведемо формулювання закону Паскаля.

• Тиск, що створюють зовнішні сили на поверхню нерухомої рідини, рідина передає однаково в усіх напрямах.

Рис. 14.2. Гідравлічна машина

Як бачимо, виграш у силі визначається співвідношенням площ поршнів. Гідравлічні та пневматичні пристрої, що діють на цьому принципі, застосовуються дуже широко (це й преси, і домкрати, і насоси, і підіймальні пристрої, і гідравлічні підсилювачі рульового управління в автомобілях).

Закон Паскаля зовсім не означає, що тиск у всіх точках нерухомої рідини є однаковим. Тиск від поршня, що діє на поверхню рідини, дійсно передається у всі точки цієї рідини. Але є ще тиск, зумовлений силами тяжіння, що діють на кожну частинку всередині рідини. От цей тиск може суттєво відрізнятися в різних точках рідини (багато хто з вас відчував, як зростає тиск води на вуха, якщо пірнати на глибину кількох метрів).

Отже, гідростатичний тиск зростає з глибиною. На одній і тій самій глибині в одній і тій самій нерухомій рідині тиск є однаковим. Будь-яка різниця тисків у точках на одному рівні викликала б перетікання рідини. Тільки після вирівнювання тиску на кожній глибині рідина може « заспокоїтися ».

Рис. 14.3. Отримуємо формулу гідростатичного тиску стовпа рідини заввишки h

Тоді умову рівноваги виділеного об’єму рідини можна записати у вигляді F = mg + F_атм. Урахуємо також, що m = ρ_рідSh, F_{aтм =} р_aтмS, a F = (р_атм + p)S. Тут р_атм і р — відповідно атмосферний тиск і тиск стовпа рідини заввишки h; ρ_рід — густина рідини. Після підстановок отримуємо р = ρ_рідgh.

Це співвідношення можна записати й інакше. Якщо під h розуміти не глибину, а висоту від якогось нульового рівня, то для всіх точок нерухомої рідини виконується співвідношення p + ρ_piдgh = const.

Збільшення тиску рідини з глибиною спричиняє виникнення сили Архімеда, що «виштовхує» занурене в рідину тіло вгору. Сила Архімеда — це рівнодійна сил тиску рідини на всі ділянки поверхні тіла (для кубика з вертикальними та горизонтальними гранями це просто різниця сил тиску на нижню та верхню грані).

• Сила Архімеда дорівнює вазі рідини в об’ємі зануреної частини тіла:

F_A = ρ_рідgV.

F_A = m_рідg = ρ_рідgV.

Рис. 14.4. Виводимо формулу сили Архімеда

Точкою прикладення сили Архімеда можна вважати центр ваги рідини в об’ємі зануреної частини тіла. Очевидно, що тіло масою m плаває за умови F_A = mg.

Усі отримані результати є справедливими для газу. Слід урахувати тільки одне обмеження: якщо розглядається достатньо високий стовп газу, то його вже не можна вважати однорідним, бо густина газу зменшується з висотою.

2. Рух рідини та газу. Рівняння нерозривності

Перейдемо тепер до розгляду руху рідини (відповідний розділ фізики називають гідродинамікою). Будемо спочатку розглядати рух рідини по трубах. Це важлива задача, що стосується і дії водогону, і експлуатації нафтопроводів, і руху крові в наших судинах.

Реальний рух рідини в трубах є складним. Через в’язкість рідина має різні швидкості руху біля стінок і на осі труби (рис. 14.5). Ще більше ускладнюють рух рідини можливі за великої швидкості руху завихрення та явище турбулентності, за якого рух рідини стає неупорядкованим у просторі та часі.

Рис. 14.5. Червоними стрілками показано швидкості ламінарного руху різних шарів рідини в трубі: а — реальна картина; б — спрощена модель без урахування в’язкості

Ми не можемо аналізувати такі складні проблеми. Тому обмежимося дуже спрощеною моделлю: нехтуватимемо в’язкістю (рідину без в’язкості називають ідеальною) та при цьому вважатимемо течію ламінарною. Інакше кажучи, рідина в нашій моделі тече окремими шарами, що не перемішуються та не зазнають хаотичних різких змін швидкості. Рух рідини в трубі може бути ламінарним за малої швидкості. Будемо вважати його усталеним, тоді траєкторії руху різних маленьких об’ємів рідини не перетинаються та збігаються з лініями потоку (швидкості руху рідини в кожній точці напрямлені по дотичних до цих ліній).

Урахуємо тепер, що труба може мати різну площу S поперечного перерізу в різних місцях. Очевидно, тоді швидкість руху рідини в різних перерізах труби теж буде різною.

Швидкість руху рідини дійсно збільшується там, де площа перерізу потоку менша (рис. 14.6).

Рис. 14.6. Швидкість руху рідини в різних перерізах труби відрізняється, витрата рідини в усіх перерізах є однаковою. Червоними стрілками показано переміщення елементів рідини за час Δt

Отримані результати зазвичай є справедливими й для потоку газу: як це не дивно, зміною густини газу можна знехтувати, якщо швидкість потоку газу набагато менша від швидкості звуку в цьому газі.

3. Рівняння Бернуллі

Ви дізналися, що швидкість рідини в потоці залежить від площі поперечного перерізу цього потоку. Це означає, що швидкість кожного елемента рідини (тобто «порції» рідини з маленьким об’ємом) під час руху змінюється. Інакше кажучи, елементи рідини рухаються з прискоренням. Які ж сили надають рідині прискорення?

Треба враховувати не тільки силу тяжіння, а й різницю тисків у різних поперечних перерізах труби.

Розгляньмо рух однієї і тієї самої маси рідини, коли вона послідовно займає положення 1, 2, 3 (рис. 14.7). Очевидно, в положеннях 1 і 3 рідина рухається без прискорення. Це означає, що сили тиску, які діють уперед і назад, зрівноважують одна одну. А от під час проходження положення 2 рідина розганяється, її прискорення напрямлене вперед. Виходить, з боку широкої ділянки труби (де рідина рухається повільніше) на неї діє більша сила тиску, ніж із боку вузької.

• Тиск рідини, що тече, більший у тих перерізах потоку, в яких швидкість її руху менша.

Рис. 14.7. Зміна швидкості руху рідини пов’язана з різницею тисків у різних перерізах труби. Червоними стрілками показано швидкості руху рідини (v₁ < v₂ < v₃), чорними — напрямлені вперед сили тиску, коричневими — напрямлені назад сили тиску

Щоб вивести рівняння Бернуллі, яке пов’язує тиск у рухомій рідині зі швидкістю її руху, скористаємося енергетичними міркуваннями. Розглянемо рідину, що міститься в початковий момент між двома поперечними перерізами труби, які можуть бути на довільній відстані один від одного, причому не обов’язково на одному рівні (рис. 14.8). Через невеликий проміжок часу рідина зміститься, її задня та передня межі вже не збігаються з початковими (переміщаються відповідно на l₁ і l₂). Зміниться на ΔW й механічна енергія рідини. Ця зміна дорівнює роботі зовнішніх сил, тобто сил тиску зовнішньої рідини в перерізах 1 і 2. Ураховуючи напрями сил, можна написати: ΔW = F₁l₁ - F₂l₂.

Рис. 14.8. Переміщення певної маси рідини вздовж труби

Фактично вся зміна енергії зумовлена «заміною» шару рідини масою Δm поблизу перерізу 1 на шар рідини такої самої маси поблизу перерізу 2. Отже,

Одержане рівняння називають рівнянням Бернуллі. Нагадаємо, що воно виконується для усталеного потоку ідеальної (без внутрішнього тертя) нестисливої рідини. Коли рух рідини не обмежений трубою, рівняння Бернуллі можна застосовувати до точок, що належать одній лінії потоку. У випадку ν = 0 це рівняння зводиться до вже відомого нам рівняння для гідростатичного тиску.

Навколо фізики

Протягом XVII-XIX століть навіть видатні математики та фізики, що досліджували теоретично рух рідини, часто робили такі ж спрощення, як і ми з вами в цьому підручнику. Зокрема, багато які з результатів було отримано зовсім без урахування в’язкості. Згодом з’ясувалося, що навіть дуже мала в’язкість є принципово важливою. Нехтуючи нею, можна отримати зовсім далекі від реальності результати. У курсі фізики видатного американського вченого Р. Фейнмана такий спрощений підхід названо вивченням «сухої води». Але обійтися без спрощень дуже нелегко — адже описати процес витікання води з крана складніше, ніж рух міжпланетного корабля.

Відомо багато експериментів, що ілюструють рівняння Бернуллі. Один із них показано на рис. 14.9: рідину прокачують горизонтальною трубою, а її рівень у відкритих вертикальних трубках дозволяє визначати тиск усередині рідини. Як бачимо, у найвужчій ділянці труби, де швидкість руху рідини найбільша, тиск дійсно найменший.

Рис. 14.9. Порівняння тиску в різних ділянках труби. Білими стрілками показано швидкості руху рідини на різних ділянках труби

Якщо збільшити швидкість руху рідини, то тиск у найвужчій частині труби стане ще меншим. Його можна зробити меншим від навколишнього (атмосферного) тиску. Тоді рідина вже не підніматиметься у відповідній вертикальній трубці; через цю трубку потік рідини засмоктуватиме бульбашки повітря та уноситиме їх. За таким принципом діють водоструминні насоси. Аналогічним є принцип дії пульверизатора та карбюратора, що готує горючу суміш для двигуна внутрішнього згоряння (тільки там середовища «міняються місцями» — потік повітря засмоктує та розбризкує рідину).

4. Підіймальна сила крила

Важко уявити сучасний світ без такого зручного та швидкого виду транспорту, як авіація. Сучасний авіалайнер за лічені години переміщає сотні пасажирів у найвіддаленіші місця. Колись здавалося, що відірвати конструкцію такої маси від поверхні Землі та підняти на висоту кількох кілометрів неможливо. Силу, яка це здійснює, називають підіймальною силою крила. Як же вона виникає?

Ця сила виникає завдяки несиметричному обтіканню крила потоком повітря (нам зручніше буде розглядати рух повітря відносно крила, а не крила відносно повітря). Щоб створити таке несиметричне обтікання, крилу надають певного кута атаки (на рис. 14.10 показано випадок горизонтального польоту).

Рис. 14.10. Кут α атаки крила та циркуляція повітря навколо крила. Синіми стрілками показано напрям руху повітря, що набігає на крило; чорними — напрям циркуляції

Унаслідок циркуляції повітря навколо крила швидкість руху повітря відносно крила над ним виявляється більшою, ніж під ним (над крилом швидкість циркуляції додається до швидкості потоку, що набігає, а під крилом — віднімається, бо напрямлена протилежно). Через це тиск повітря під крилом більший, ніж над ним.

Рис. 14.11. Сили, що діють на крило та літак під час рівномірного горизонтального польоту

Зверніть увагу!

Підіймальна сила крила зростає зі збільшенням його площі та швидкості руху літака. Для збільшення швидкості необхідно збільшувати силу тяги та забезпечити умови для зменшення сили опору. Це є однією з причин того, що польоти пасажирських літаків проходять на висоті близько 10 км, де густина повітря майже в 4 рази менша, ніж на рівні моря.

Підбиваємо підсумки

Відповідно до закону Паскаля нерухомі рідини та гази передають тиск однаково в усіх напрямах. Гідростатичний тиск зростає з глибиною, на одній і тій самій глибині в одній і тій самій нерухомій рідині він є однаковим. Стовп рідини заввишки h створює гідростатичний тиск p = ρ_рідgh. Цей тиск спричиняє виникнення сили Архімеда, що дорівнює вазі рідини в об’ємі зануреної частини тіла: F_А = ρ_рідgV.

Під час ламінарної течії ідеальної (без внутрішнього тертя) нестисливої рідини по трубі через кожний поперечний переріз труби за одиницю часу проходить однаковий об’єм рідини, тобто S₁v₁ = S₂v₂. При цьому тиск рідини більший у поперечних перерізах труби з більшою площею, в яких швидкість руху рідини менша. Зв’язок між тиском рідини і швидкістю її руху задає рівняння Бернуллі:

Підіймальна сила крила виникає через несиметричне обтікання крила потоком повітря та спричинену цим різницю тисків повітря під крилом і над ним.

Контрольні запитання

1. У чому полягає закон Паскаля? 2. Від чого залежить виграш у силі, отриманий за допомогою гідравлічної машини? 3. Запишіть формулу гідростатичного тиску. 4. Чому дорівнює сила Архімеда? 5. У яких поперечних перерізах потоку тиск рідини найменший? 6. Запишіть рівняння Бернуллі.

Навколо фізики

Політ сучасних авіалайнерів зазвичай проходить на висоті від 9 до 12 км. Такі висоти забезпечують не тільки зменшення опору повітря, а ще й інші переваги. Наприклад, температура забортного повітря близько -50 °С сприяє ефективному охолодженню реактивних двигунів. Крім того, на таких висотах практично немає птахів, а вони є дуже небезпечними «сусідами» для літаків — адже за швидкості польоту понад 200 або 250 м/с «зустріч» із птахом мало чим відрізняється від влучання артилерійського снаряда... Велика висота зменшує залежність літака від метеоумов і надає пілотам більше часу для прийняття рішення та маневру в разі виникнення нештатних ситуацій. Але подальше суттєве збільшення висоти польотів для нинішнього покоління літаків є нереальним: повітря стане занадто розрідженим і відчуватиметься нестача кисню, необхідного для горіння палива.

Вправа № 14

1. Визначте гідростатичний тиск стовпа води заввишки 50 м. Густина води дорівнює 1000 кг/м³.

2. Дошка завширшки 15 см та завдовжки 2 м плаває у воді, занурившись на 3 см. Визначте масу цієї дошки.

3. Вода тече по трубі діаметром 6 см зі швидкістю 0,4 м/с, а потім потрапляє в трубу діаметром 3 см. Визначте швидкість руху води у вужчій трубі.

4. Доведіть, що гідравлічна машина не може давати виграшу в роботі.

5. Вода витікає з широкого відкритого бака через тонку трубку, що вставлена в стінку бака на 2 м нижче від рівня води. Визначте швидкість води в трубці, не враховуючи в’язкості.

6. Чому ураганному вітру «легше» зірвати покрівлю з будинку, ніж плоский міцний навіс над відкритою площадкою?

7. Вода переходить із широкої горизонтальної труби у вузьку, діаметр якої втричі менший. Тиск у вузькій трубі дорівнює атмосферному, а в широкій — більший у 5 разів. Визначте швидкість руху води в широкій трубі, вважаючи воду ідеальною рідиною.

Експериментальні завдання

1. Підвісьте два аркуші паперу на невеликій відстані один від одного. Дослідіть, як зміниться положення аркушів, якщо подути між ними. Поясніть результат досліду.

2. За допомогою компресора або потужного фена створіть напрямлений угору потік повітря завширшки кілька сантиметрів. Помістіть у цей потік тенісну кульку та дослідіть, чи можлива стійка рівновага кульки в струмені повітря. Поясніть результати досліду.