Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 15. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

1. Кінетична енергія та момент імпульсу тіла, що обертається

Ви вже переконалися, яким могутнім засобом аналізу фізичних явищ є закони збереження. Тому бажано навчитися застосовувати їх до різних типів рухів, у тому числі й до обертального руху твердого тіла. Отже, давайте повернемося до розгляду цього руху (див. § 11). «Попутно» ми познайомимося ще з одним законом збереження в механіці.

Нагадаємо, що між прямолінійним рухом матеріальної точки та обертальним рухом твердого тіла існує певна аналогія. Вона, зокрема, виражається в тому, що співвідношення для прямолінійного та обертального рухів переходять одне в одне при певній заміні величин. Систематизуємо вже відомі нам аналогії за допомогою таблиці.

Отже, якою має бути формула кінетичної енергії обертового твердого тіла? Якщо скористатися нашою таблицею, то отримаємо

Перевіривши одиниці виразу в правій частині рівності, отримаємо дійсно джоуль. Тож отримана формула є дуже правдоподібною. Проте краще буде строго її довести.

Кінетична енергія твердого тіла — це сума кінетичних енергій матеріальних точок, з яких це тіло складається. Якщо відстань точки з номером j від осі обертання становить r_j, то швидкість руху цієї точки v_j = ωr_j. Тоді кінетична енергія тіла

2. Закон збереження моменту імпульсу

Перш за все давайте краще розберемося у фізичному змісті нової для нас фізичної величини — моменту імпульсу L. Очевидно, можна визначити не тільки момент імпульсу обертового твердого тіла, а й момент імпульсу матеріальної точки. Установимо одиницю цієї величини:

Зверніть увагу!

Момент імпульсу вважають додатним, якщо проведений від осі обертання до рухомої точки відрізок повертається проти ходу годинникової стрілки. Якщо обертання відбувається у зворотний бік, момент імпульсу вважають від’ємним.

Це наводить на думку, що момент імпульсу може бути добутком імпульсу на певну відстань («плече імпульсу»). Переконаймося в цьому.

Для твердого тіла

У розглянутому випадку кожна матеріальна точка рухалася по колу навколо осі (рис. 15.2). У загальному ж випадку модуль моменту імпульсу матеріальної точки L = p • d (тут d — відстань від осі О до «лінії руху» частинки, тобто «плече імпульсу»).

Рис. 15.2. Момент імпульсу матеріальної точки: а — для окремого випадку (обертання точки по колу) L_k = р_к • r_к; б — у загальному випадку L = p • d

Момент імпульсу системи дорівнює сумі моментів імпульсу її складових. Під час виведення основного рівняння динаміки обертального руху (див. § 11) ми вже встановили, що сума моментів усіх внутрішніх сил у системі завжди дорівнює нулю. Тому швидкість зміни моменту імпульсу всієї системи дорівнює сумарному моменту зовнішніх сил. Звідси випливає закон збереження моменту імпульсу.

• Момент імпульсу замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої осі є незмінним.

Можливий і ще один випадок: на тіло діють зовнішні сили, але їх момент відносно певної осі дорівнює нулю. Тоді зберігатиметься момент імпульсу тіла саме відносно цієї осі.

Наочною демонстрацією закону збереження моменту імпульсу є прискорення обертання фігуристки, коли вона зводить руки, зменшуючи тим самим свій момент інерції відносно вертикальної осі обертання. Добуток L = Iω залишається при цьому незмінним. Ви можете провести аналогічний дослід і за допомогою обертового диска (див. рис. 11.6).

Розберемося глибше

Найкращою ілюстрацією цього твердження можуть бути досліди з гіроскопом, тобто швидкообертовим симетричним тілом, вісь якого може змінювати своє положення в просторі (див., наприклад, рис. 15.3). Гіроскоп тривалий час зберігає напрям своєї осі обертання незмінним, незалежно від зміни положення опори, на якій він закріплений.

Рис. 15.3. Гіроскопи

Таку властивість гіроскопа широко застосовують у навігаційних приладах (гірокомпас, гірогоризонт в авіації) і навіть у дитячих іграшках. Ви теж знайомі з гіроскопічним ефектом: ви ж знаєте, наскільки легше втримати рівновагу на велосипеді, коли він не стоїть, а рухається. Гіроскопом у цьому випадку є велосипедне колесо.

3. Закони Кеплера як наслідок законів механіки Ньютона

Й. Кеплер установив закони руху планет Сонячної системи, аналізуючи результати спостережень свого вчителя, данського астронома Тіхо Браге. Пояснити походження цих законів він ще не міг. Закони Кеплера допомогли І. Ньютону встановити закони механіки, зокрема закон всесвітнього тяжіння. Коли ж ці закони було встановлено, то стало можливим теоретичне виведення всіх законів Кеплера. Більше того, стало зрозумілим: ці закони справедливі не лише для обертання планет навколо Сонця, а й для обертання супутників навколо Землі або Юпітера. Важливо тільки, щоб маса центрального тіла набагато перевищувала масу тих тіл, що обертаються навколо нього.

Наведемо формулювання законів Кеплера та обговоримо коротко, як само вони випливають із законів механіки.

• Перший закон Кеплера. Кожна планета рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої перебуває Сонце.

Нагадаємо: еліпс являє собою геометричне місце точок на площині, сума відстаней яких від двох даних точок (фокусів) дорівнює постійній величині (довжині великої осі еліпса). Коло є окремим випадком еліпса (коли обидва фокуси збігаються). Еліпс на рис. 15.4 можна розглядати як результат однорідного стискання кола радіусом а у вертикальному напрямі. Точка А відповідає положенню планети в довільний момент часу; а — велика піввісь еліпса, b — мала піввісь. Сума відстаней AF₁ і AF₂ дорівнює 2а.

Рис. 15.4. Траєкторія руху планети навколо Сонця (точка F₁ — центр Сонця)

Перший закон Кеплера можна вивести із законів динаміки, скориставшись методами вищої математики.

• Другий закон Кеплера. Радіус-вектор, проведений від Сонця до планети, за рівні інтервали часу описує рівні площі (рис. 15.5).

Рис. 15.5. Другий закон Кеплера: якщо планета проходить ділянки траєкторії А₁А₂ і А₃А₄ за однакові інтервали часу, то площі секторів F₁A₁A₂ і F₁A₃A₄ однакові

Зрозуміло, що чим далі планета від Сонця, тим менша швидкість її руху. Проте зміст другого закону Кеплера є глибшим. Якщо вважати, що проміжок часу Δt між проходженням точок A₁ і А₂ є малим, то протягом цього проміжку часу швидкість руху планети практично не змінюється за напрямом і модулем. Тоді сектор F₁A₁A₂ можна вважати трикутником з основою А₁А₂ = v • Δt і висотою d, що як раз дорівнює «плечу імпульсу». Площа цього трикутника

Тут m — маса планети, a L — її момент імпульсу відносно осі, що проходить через центр Сонця.

• Третій закон Кеплера. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їх еліптичних орбіт:

Цікаво, що період обертання планети не залежить від малої півосі її орбіти, тобто періоди руху по показаних на рис. 15.6 орбітах однакові.

Рис. 15.6. Відповідно до третього закону Кеплера періоди обертання небесних тіл по показаних орбітах є однаковими, бо однакові великі півосі всіх еліпсів

Третій закон Кеплера дозволяє порівнювати тільки періоди обертання планет однієї планетної системи або супутників однієї планети.

Підбиваємо підсумки

Наслідком законів механіки є встановлені Й. Кеплером три закони руху планет (аналогічні закони виконуються для руху супутників планет).

1. Кожна планета рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті, в одному з фокусів якої перебуває Сонце.

2. Радіус-вектор, проведений від Сонця до планети, за рівні інтервали часу описує рівні площі.

3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їх еліптичних орбіт.

Контрольні запитання

1. Яка фізична величина є мірою інертності тіла під час обертального руху? 2. Що таке момент імпульсу матеріальної точки відносно осі? 3. За яких умов момент імпульсу системи є незмінним? 4. Сформулюйте три закони Кеплера. 5. Наслідком якого закону механіки є другий закон Кеплера?

Вправа № 15

1. Визначте кінетичну енергію горизонтального диска масою 2,4 кг і радіусом 20 см, що обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 40 рад/с.

2. Легкий горизонтальний стрижень АВ, посередині якого закріплений точковий вантаж, обертається навколо вертикальної осі, що проходить через точку А. У скільки разів зміниться кутова швидкість обертання, якщо вантаж з’їде до точки В?

3. Якою стане кутова швидкість обертання диска (див. завдання 1), якщо на його край впаде та прилипне шматок пластиліну масою 200 г?

4. Комета обертається навколо Сонця по еліптичній орбіті, велика піввісь якої в 9 разів більша за радіус орбіти Землі. Через які проміжки часу комета наближається до Сонця?

5. Як зміниться тривалість земної доби, якщо внаслідок потепління розтануть полярні скупчення криги?

6. Для чого потрібно надати космічному апарату більшої швидкості поблизу Землі: щоб він покинув межі Сонячної системи чи щоб влучив у Сонце?

8. Доведіть третій закон Кеплера для еліптичних орбіт, скориставшись законами збереження та формулою площі еліпса S = пab.