Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 10. Рівновага тіл. Центр ваги тіла. Стійкість рівноваги

1. Дві умови рівноваги

Закони динаміки дозволяють пов’язати прискорення руху тіла з силами, що діють на це тіло. Проте архітектору або конструктору моста важливо, щоб у хмарочоса та моста не було прискорення, тобто щоб ці конструкції десятки або навіть сотні років зберігали стан спокою відносно Землі. Відносно ж інших інерціальних систем відліку ці тіла можуть рухатися прямолінійно рівномірно. Такий стан тіл називають рівновагою.

Зверніть увагу!

У загальному випадку рівновага допускає також рівномірне обертання відносно осі, що зберігає свій напрям у просторі (так рухалася б наша Земля, якщо б зникло тяжіння інших небесних тіл).

Рис. 10.1. Плечі сил, що діють на закріплене на осі О тіло

З курсу фізики 7 класу ви вже знаєте, що в даному випадку дію сили визначає її момент М, модуль якого дорівнює добутку модуля цієї сили на її плече: |М| = Fl. Одиницею цієї величини є Н • м (цю одиницю не треба записувати як Дж).

• Плечем l сили називають відстань від осі обертання до лінії дії сили (рис. 10.1).

• Моменти сил, що обертають тіло проти ходу годинникової стрілки, вважають додатними, якщо ж сила обертає тіло за ходом годинникової стрілки, то її момент уважають від'ємним.

Очевидно, у випадку рівноваги дії сил, що обертають тіло в цих протилежних напрямах, мають компенсувати одна одну. Отже,

М₁ + М₂ + ... + М_n = 0, (2)

тобто алгебраїчна сума моментів усіх сил має дорівнювати нулю. Це — друга умова рівноваги.

Розберемося глибше

Рис. 10.2. Як можна інакше записати момент сили

Виникає запитання: як визначати моменти сил, якщо немає якоїсь закріпленої осі? Відповідь виявляється простою: у випадку рівноваги алгебраїчна сума моментів сил відносно довільної уявної осі обертання дорівнює нулю. Отже, можна подумки провести яку завгодно вісь обертання (можна вибрати її найбільш зручним чином).

Якщо не виконується перша умова рівноваги, то виникає прискорений поступальний рух тіла, якщо ж не виконується друга — з’являється обертання з кутовим прискоренням. У обох випадках рівновага порушується.

2. Центр ваги тіла

Ви знаєте, що дія сили залежить не тільки від її модуля та напряму, а й від точки прикладання цієї сили. Де ж прикладено до тіла таку важливу зазвичай силу, як сила тяжіння? Насправді ми розуміємо: ця сила — просто рівнодійна безлічі крихітних сил тяжіння, що діють на кожну з частинок, «розкиданих» по тілу. Зрозуміло, що ми обмежимося випадком однорідного поля тяжіння. Тоді всі сили тяжіння напрямлені однаково і сума їх модулів дорівнює загальній силі тяжіння, що діє на тіло.

• Рівнодійну всіх сил тяжіння слід уважати прикладеною в такій точці, щоб момент цієї сили завжди дорівнював сумі моментів усіх «маленьких» сил тяжіння. Таку точку називають центром ваги тіла*.

* Центр ваги тіла в однорідному полі тяжіння є також центром мас цього тіла (див. наступний параграф).

Очевидно, центр ваги симетричного тіла (однорідних кулі, циліндра, прямокутного паралелепіпеда) збігається з центром симетрії тіла. У загальному ж випадку для експериментального визначення центра ваги можна підвісити невелике тіло на нитці (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Як можна визначити центр ваги С плоскої пластини: а — початкове нерівноважне положення; б-в — стани рівноваги; г — визначення центра ваги як точки перетину двох відрізків

Виведемо також важливу формулу, на якій ґрунтується теоретичне визначення положення центра ваги. Розглянемо спочатку «гантель» з двох матеріальних точок масами m₁ і m₂, з’єднаних невагомим жорстким стрижнем (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Визначення центра ваги С системи матеріальних точок

Аналогічні формули можна отримати й для інших координат центра ваги. Для цього досить «повернути» силу тяжіння, або, що те ж саме, повернути всю систему разом з осями координат на 90°. Отримані формули можна об’єднати, написавши вираз для радіус-вектора центра ваги системи:

Радимо самостійно довести, що центр ваги двох матеріальних точок лежить на відрізку, що їх з’єднує, та ділить цей відрізок у відношенні, оберненому відношенню мас цих точок.

Зверніть увагу!

Будь-яке тіло можна розглядати як систему матеріальних точок (такими матеріальними точками можна вважати, наприклад, атоми).

3. Стійкість рівноваги

Для того щоб тіло перебувало в рівновазі, необхідно, щоб виконувалися дві умови рівноваги. Чи достатньо цього, щоб рівновага дійсно мала місце? Розгляньмо простий приклад: маленьку монетку на вершині гладенької гірки (рис. 10.5, а).

Рис. 10.5. Різні види рівноваги: а — нестійка; б — стійка; в — байдужа

Рис. 10.6. Різні види рівноваги тіла, що може обертатися навколо нерухомої осі О: а — нестійка; б — стійка; в — байдужа

Наведені приклади ілюструють важливу закономірність: стійка рівновага відповідає стану з найменшою потенціальною енергією, а нестійка — стану з найбільшою потенціальною енергією. У наших прикладах потенціальна енергія залежала від висоти центра ваги С тіла, тому стійка рівновага відповідала найнижчому положенню центра ваги.

Отже, можна зробити висновок.

• Рівновага є стійкою, якщо при малому відхиленні від положення рівноваги виникає сила (або момент сили), що повертає тіло в положення рівноваги. У цьому положенні потенціальна енергія системи є мінімальною.

Розгляньмо ще один важливий випадок: рівновагу тіла, що має певну площу опори. Це не обов’язково площа безпосереднього контакту тіла з площиною опори. Наприклад, для табурета на тонких ніжках площею опори є прямокутник з вершинами в точках опори ніжок на підлогу (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Площа опори S: а — табурета; б — мольберта

Рис. 10.8. Стійка (а) та нестійка (б) рівновага тіла, що має площу опори

Стійкою вважають рівновагу, яка поновлюється після малого відхилення від неї. Проте іноді відхилення можуть бути й не дуже малими. Чим більшим може бути кут, після якого тіло повертається до рівноваги, тим більш стійкою є ця рівновага. А граничним є таке відхилення, при якому центр ваги опиняється точно над межею площі опори. Зрозуміло, що для збільшення стійкості треба збільшувати площу опори та «переміщати» вниз центр ваги (рис. 10.9). Саме таким шляхом і йдуть конструктори автомобілів, суден, будівельних механізмів тощо.

Рис. 10.9. Як забезпечити більшу стійкість тіла, що має площу опори: тіло 2 має більшу площу опори порівняно з тілом 1, а у тіла 3 ще й нижче розташований центр ваги через додаткові вантажі в нижній частині тіла

Зазначимо, що людина може досить довго підтримувати стан нестійкої рівноваги (згадаємо, наприклад, про канатохідців).

4. Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Знайдіть сили пружності в шарнірно закріплених невагомих стрижнях АС і ВС, якщо АВ = 0,45 м, АС = 0,9 м, ВС = 1,2 м (рис. 1), а маса вантажу m = 50 кг. Який із стрижнів можна замінити міцною нерозтяжною ниткою? Уважайте, що g = 10 м/с².

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Задача 2. Доведіть, що центр ваги С однорідної трикутної пластини ABD розташований у точці перетину медіан трикутника ABD.

Розв’язання. Треба подумки розбити пластину на такі частини, центри ваги яких легко знайти. Найкраще спочатку розділити трикутник на дуже вузькі смужки, паралельні стороні АВ. Центр ваги кожної такої смужки розташований посередині смужки (на рис. 4 це зелені точки).

Рис. 4

Тепер можна кожну смужку подумки замінити на матеріальну точку відповідної маси, розташовану в центрі ваги смужки. Залишається знайти центр ваги такої системи матеріальних точок. Це не так просто зробити, враховуючи різні маси точок. Проте цього можна й не робити. Достатньо помітити, що всі отримані матеріальні точки лежать на медіані трикутника, проведеній із вершини D. Отже, центр ваги С пластини теж має лежати на цій медіані.

Розбиваючи трикутник на інші паралельні смужки, можна довести: точка С належить і двом іншим медіанам трикутника. Отже, центр ваги дійсно розташований у точці перетину медіан трикутника. «Попутно» ми довели й математичну теорему про те, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Задача 3. Драбина спирається на гладеньку вертикальну стінку. Центр ваги розташований посередині драбини, коефіцієнт тертя між ніжками драбини та підлогою дорівнює 0,5. Визначте найбільший можливий кут між драбиною та стінкою.

Підбиваємо підсумки

Дві необхідні умови рівноваги полягають у тому, що векторна сума всіх діючих на тверде тіло сил і алгебраїчна сума моментів цих сил мають дорівнювати нулю.

Точкою прикладання сили тяжіння слід уважати центр ваги тіла. Для симетричних тіл він збігається з центром симетрії, у загальному ж випадку його положення залежить від форми та розмірів тіла, а також від розподілу мас усередині цього тіла.

Виконання двох умов рівноваги ще не гарантує, що рівновага реально матиме місце. Тривала рівновага має бути стійкою: при малому відхиленні від положення рівноваги має виникати сила (або момент сили), що повертає тіло в положення рівноваги. У цьому положенні потенціальна енергія системи є мінімальною.

Контрольні запитання

1. У чому полягає перша умова рівноваги? друга умова? 2. Як рухається тіло, якщо не виконано другу умову рівноваги? 3. Як можна визначити положення центра ваги тіла експериментально? теоретично? 4. Як можна підвищити стійкість рівноваги транспортного засобу?

Вправа № 10

1. Брусок масою 4 кг нерухомо лежить на похилій площині, що утворює кут 30° з горизонтом. Визначте модулі сил реакції опори та тертя, що діють на брусок.

2. На легкому горизонтальному важелі підвішені три тягарці. Два однакових тягарці масами по 200 г підвішені на правому плечі важеля на відстанях 10 і 20 см від точки опори. На якій відстані від точки опори підвішений на лівому плечі важеля тягарець масою 100 г, якщо важіль перебуває в рівновазі?

3. Які особливості конструкції забезпечують високу стійкість перегонового автомобіля? підіймального крана? двокорпусного судна (катамарана)?

4. Виведіть із другої умови рівноваги «правило важеля»: важіль перебуває в рівновазі під дією двох прикладених сил, якщо модулі цих сил обернено пропорційні їх плечам.

5. Поясніть, чим зумовлена стійкість рівноваги системи «олівець + ніж» (див. рисунок).

6. Горизонтальну балку масою 140 кг завдовжки 3 м підвісили за кінці на двох тонких тросах. З якими силами балка діє на троси, якщо в 1 м від правого кінця до неї прикріплена сталева куля масою 60 кг?

7. Сталеву кулю радіусом 1 см припаяли до верхньої точки сталевої кулі радіусом 2 см. Де буде центр ваги всієї системи?

8. Однорідну кулю масою 7,1 кг і радіусом 6 см підвісили на тонкому дроті завдовжки 4 см до гладенької вертикальної стінки. Визначте силу тиску кулі на стінку.

9. Однорідну кулю підвісили на тонкому дроті до шорсткої вертикальної стінки. Яким має бути коефіцієнт тертя між кулею та стінкою, щоб центр кулі та точка кріплення дроту могли бути на одній вертикалі?

10. Дві рівні за модулем і протилежні за напрямами сили, що діють вздовж різних прямих, називають парою сил. Доведіть, що момент пари сил відносно двох різних паралельних осей є однаковим.

Експериментальне завдання

1. Визначте якомога точніше центр ваги плоскої пластини за допомогою лінійки та гостро заточеного олівця. Запропонуйте спосіб перевірки отриманого результату.

2. Виготовте з цупкого паперу або іншого матеріалу кілька невеликих моделей суден та дослідіть, як залежить стійкість плавання цих моделей від їх форми, а також маси та розміщення баласту всередині.