Фізика. Профільний рівень. 10 клас. Гельфгат

§ 11. Рух твердого тіла

1. Рух центра мас твердого тіла

Перш за все домовимося, що розглядатимемо абсолютно тверде тіло. Відстань між будь-якими двома точками такого тіла є незмінною, тобто абсолютно тверде тіло не зазнає деформацій. Зрозуміло, що йдеться про модель реального твердого тіла в умовах, коли його деформаціями можна знехтувати.

Найпростішим можливим рухом твердого тіла є поступальний рух, коли в будь-який момент швидкості всіх точок тіла є однаковими (тобто якщо швидкість якоїсь точки тіла змінюється, то «синхронно» змінюються й швидкості всіх інших точок).

Під час поступального руху тіло не змінює своєї орієнтації відносно осей координат. Саме так рухаються кабінки під час обертання колеса огляду (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Поступальний рух кабінок колеса огляду: кожна деталь кабінки зберігає свій напрям у просторі під час обертання колеса

У загальному ж випадку швидкості руху різних точок твердого тіла є різними. Проте між ними є певний зв’язок, завдяки якому відстані між точками не змінюються. Можна подумки «розбити» рух твердого тіла на рух якоїсь його точки та обертання тіла навколо осі, що проходить через цю точку. Наприклад, рух колеса є «сумою» руху його центра та обертання колеса навколо осі, що проходить через центр. Якщо ж колесо котиться без проковзування, то швидкість його нижньої точки відносно дороги дорівнює нулю; тому рух колеса можна вважати просто обертанням навколо «миттєвої осі», що проходить через нижню точку колеса (рис. 11.2).

Рис. 11.2. Два способи опису руху колеса: а — обертання навколо рухомої осі О₁, б — обертання навколо нерухомої миттєвої осі О₂

Характер руху тіла визначають сили, що діють на нього. Розгляньмо як приклад плоску пластину, що лежить на гладенькій горизонтальній поверхні. Якщо прикласти до пластини в точці А (рис. 11.3) силу в напрямі 1 або 2, пластина набуде обертання проти ходу годинникової стрілки. Якщо сила діє в напрямі 3 або 4 — виникне обертання за ходом годинникової стрілки. І тільки якщо сила буде напрямлена вздовж «зеленої» прямої, ця сила не спричинить обертання, пластина рухатиметься поступально. Сила, прикладена в точці В, спричинить поступальний рух тіла, тільки якщо буде напрямлена вздовж «червоної» прямої, сила в точці D — вздовж «синьої» тощо. Усі відповідні прямі перетинаються в одній точці С, яку називають центром мас тіла.

• Центр мас тіла — точка, через яку має проходити лінія дії сили, щоб під дією цієї сили тіло рухалося поступально.

Рис. 11.3. Центр мас тіла С: якщо сила діє вздовж однієї з прямих, що проходять через точку С, то тіло рухається поступально

Положення центра мас залежить від форми та розмірів тіла, а також від розподілу мас всередині цього тіла. Якщо подумки розбити тіло на окремі матеріальні точки, то можна довести, що радіус-вектор центра мас задається виразом

де знак Σ позначає суму, а індекс k нумерує окремі матеріальні точки.

Якщо рух тіла не є поступальним, то траєкторії руху різних точок цього тіла можуть бути дуже складними. Це стосується, наприклад, траєкторій руху різних точок каменя, який кинули з високого берега в річку. Але центр мас цього каменя рухатиметься по параболі, якщо можна знехтувати опором повітря.

Наведений приклад ілюструє теорему про рух центра мас (справедливу не тільки для руху твердого тіла, а й для руху довільної системи тіл).

• Центр мас системи рухається так, як рухалася б матеріальна точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему.

Зверніть увагу!

Внутрішні сили в системі тіл не впливають на рух центра мас цієї системи.

Розберемося глибше

2. Основне рівняння динаміки обертального руху

Рис. 11.4. Рух матеріальної точки по колу під дією зовнішньої сили

Скориставшись формулою а_τ = r|β| і |Μ| = F_⟂r, отримаємо зв’язок між кутовим прискоренням і моментом зовнішньої сили: mr^2|β| = |Μ|. Легко переконатися, що β і М мають однакові знаки, тому mr²β = М. Очевидно, що коли на матеріальну точку діють кілька сил, у правій частині цього рівняння буде сума їх моментів.

Якщо розглядати тверде тіло як систему матеріальних точок, то можна записати систему рівнянь аналогічно тому, як ми це робили для виведення формули (2). Слід також урахувати, що для взаємодії двох матеріальних точок з номерами k, і із третього закону динаміки випливає співвідношення M_k-i = -M_i-k (рис. 11.5).

Рис. 11.5. Сили дії та протидії між двома матеріальними точками напрямлені протилежно. Ці сили мають не тільки однакові модулі, а й однакове плече l відносно осі обертання, тому їх моменти однакові за модулем та протилежні за знаками

Для твердого тіла виконується рівняння (Σm_kr_k²)β = M де М — сумарний момент зовнішніх сил відносно осі обертання. Величину I = Σm_kr_k² називають моментом інерції тіла відносно певної осі. Отже, основне рівняння динаміки обертального руху має вигляд

Іβ = М. (3)

Момент інерції (одиниця цієї фізичної величини — кг • м²) так само характеризує інертність тіла щодо його обертання навколо осі, як маса — інертність щодо поступального руху. Проте, на відміну від маси, момент інерції залежить і від розмірів тіла, і від розподілу маси всередині цього тіла, і від розташування осі обертання (її напряму та відстані від центра мас тіла). Момент інерції тіла легко змінити, не змінюючи складу цього тіла. Наприклад, якщо ви станете на обертовий диск (рис. 11.6) і зміните положення рук, то ви суттєво зміните момент інерції свого тіла відносно вертикальної осі обертання, що проходить через центр диска. Інформацію щодо моменту інерції різних тіл і приклади розв’язування задач ви знайдете за посиланням.

Рис. 11.6. Зміна моменту інерції тіла без зміни його маси: I₁ > I₂

Підбиваємо підсумки

Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, його рух описує основне рівняння динаміки обертального руху: Іβ = М. Тут I = Σm_kr_k² — момент інерції тіла відносно осі обертання, а М — сумарний момент зовнішніх сил відносно цієї осі.

Контрольні запитання

1. Який рух твердого тіла називають поступальним? 2. Що таке центр мас тіла? 3. Яка формула визначає радіус-вектор центра мас тіла? 4. У чому полягає теорема про рух центра мас? 5. Що таке момент інерції твердого тіла відносно осі обертання? б. Які величини пов’язує основне рівняння динаміки обертального руху?

Вправа № 11

1. Дві кульки масами по 100 г з’єднані невагомим стрижнем. Цю «гантель» кинули під кутом до горизонту. Опором повітря можна знехтувати. Чи можете ви визначити прискорення руху: а) центра кожної кульки; б) центра мас системи?

2. Коли до зрівноваженого важеля приклали додаткову силу 0,1 Н, плече якої дорівнювало 10 см, важіль набув кутового прискорення 0,05 рад/с². Визначте момент інерції важеля.

3. Дві маленькі кульки масами по 10 г з’єднані невагомим стрижнем. Відстань між центрами кульок дорівнює 10 см. Визначте момент інерції системи відносно осі, що проходить через центр стрижня перпендикулярно до нього.

4. Два вантажі підвішені на невагомій нерозтяжній нитці, яку перекинуто через нерухомий блок масою 40 г. Вантажі рухаються з прискоренням 0,5 м/с². Визначте різницю сил натягу нитки по різні боки від блока. Блок уважайте однорідним диском, тертя в осі блока відсутнє, нитка по блоку не проковзує.

5. До кінців легкої горизонтальної лінійки завдовжки 30 см підвісили тягарці масами 400 і 100 г. Лінійку закріпили на осі на відстані 10 см від більшого тягарця. З яким прискоренням рухатиметься цей тягарець відразу після того, як лінійку відпустять?