ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 9 клас

△АВС — прямокутний. На катетах як на діаметрах побудовані кола. На гіпотенузі як на діаметрі також побудоване коло (описане коло навколо прямокутного трикутника має діаметром гіпотенузу). Необхідно знайти площу зафарбованої частини.

Щоб знайти цю площу достатньо знайти суму площ півкругів, побудованих на катетах трикутника і від цієї суми відняти суму площ сегментів, які від кола, побудованого на гіпотенузі, відтинають катети, як хорди. Для знаходження суми площ сегментів, достатньо від S півкруга, побудованого на гіпотенузі, відняти площу трикутника. Нехай а і b — катети трикутника, тоді гіпотенуза дорівнює

Розділ 5. Геометричні перетворення

Побудуємо пряму а′, яка симетрична прямій а відносно А. а′ перетне коло в точках К′ і Р′. Оскільки а′ і а симетричні відносно А, то кожній точці прямої а′ знайдеться точка прямої а, яка симетрична відносно А. Задача має 2 розв’язки при заданому розміщенні прямої, точки і кола. К і К′, P i Р′ — шукані точки.

1186. У △АВС: ∠С = 90°, CD ⟂ АВ; 3 см — радіус кола, вписаного у △ACD; 4 см — радіус кола, вписаного у △BCD. △BCD ∼ ВСА; △ACD ∼ ABC; △ADC ∼ △CDB. Тоді

Продовжимо відрізок М₁М за т. М і на продовженні від т. М відкладемо МА = ММ₁.

З’єднуємо вершини А і А і С. △АВС — шуканий.

Осі симетрії прямокутника проходять через точку перетину діагоналей, тобто через т. (-1; 2) і х = 1; у = -2 — осі симетрії.

Сторони прямокутника паралельні осям симетрії. Проведемо через т. (2; -2) пряму, паралельну осі у. Ця пряма перетне діагоналі в т. (2; 1) і (2; -5). З точок (2; 1) і (2; -5) проведемо прямі, паралельні осі х. Вони перетнуть діагоналі в точках (0; 1) і (0; -5). Отже, (0; 1); (2; 1); (2; -5); (0; -5) — координати вершин прямокутника.

1191. х² - 4х + у² = 0. (х - 2)² + у² = 4 — коло з центром О(2; 0), R = 2.

1) При повороті на 60° за годинниковою стрілкою т. О(2; 0) перейде в точку О′(1; -√3) і коло (х - 2)² + у² = 4 перейде в коло(х - 1)² + (у + √3)² = 4.

2) При повороті на 60° проти годинникової стрілки т. (2; 0) перейде в т. (1; √3) і дане коло перейде в коло (х - 1)² + (у + √3)² = 4.

О — центр (точка перетину діагоналей), М і N — точки сусідніх сторін квадрата. При повороті на 90° навколо центра квадрата сторона переходить в сусідню сторону. Тобто образ точки М буде лежати на тій же стороні, що і точка N. Якщо виконати поворот в протилежному напрямку на 90°, то образ т. N буде лежати на стороні, де лежить т. М. Виконаємо поворот. Проведемо прямі MN₁ і NM₁. А — точка їх перетину, вершина квадрата. Проведемо діагональ АО і за т. О відкладемо ОС = ОА, С — вершина квадрата. Через точку С проведемо прямі, паралельні AM₁ і AN₁. Ці прямі перетнуть AN₁ і AM₁ в точках В і D. ABCD — шуканий квадрат.

1193. х2 + у2 = 2(2 + 2у - х); х2 + у2 - 4у + 2х = 4; (х + 1)2 + (у - 2)2 = 9 — коло з центром (-1; 2), R = 3 переходить в криву х2 - 4х + 4 + у2 - 2у + 1 = -2m + 5; (х - 2)2 + (у - 1)2 = -2m + 5 — коло з центром (2; 1). -2m + 5 = 9; m = -2. Так як т. (-1; 2) переходить в т. (2; 1), то таке перенесення задається формулами х′ = х + 3; у′ = у - 1. Це перечення пряму 2х - 3у + 6 = 0