ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

За умовою АВ — діаметр. За наслідком із теореми про вписані кути: ∠ACB = 90°. Виконаємо додаткову побудову: висоту СК (СК ⟂ АВ). За умовою N — середина АС і NP ⟂ АВ, СК ⟂ АВ. Отже, NP ∥ СК. За теоремою про середню лінію трикутника: NP — середня лінія △АСК. СК = 2NP, СК = 2 • 4 = 8 (см). Розглянемо △АСВ — прямокутний (∠C = 90°) ∠А = 30°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника: ∠A + ∠B = 90°, ∠B = 90° - ∠A, ∠B = 90° - 30° = 60°. Розглянемо △CKB — прямокутний (∠CKB = 90°). Аналогічно маємо: ∠B + ∠КСВ = 90°, ∠КСВ = 90° - ∠B, ∠КСВ = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: СВ = 2КВ. Нехай КВ = х см, тоді СВ = 2х (см). За теоремою Піфагора маємо: СВ2 = СК2 + КВ2; (2х)2 = х2 + 82; 4х2 - x2 = 64; 3х2 = 64;

Побудова: проведемо медіану АК △MAN. Побудуємо т. О, яка ділить відрізок АК у відношенні AO : OK = 2 : 1.

На її продовженні за т. К відкладемо відрізок КС = OK.

Проведемо прямі СМ і CN. Через т. А проведемо пряму, яка паралельна CN. Ця пряма перетинається з прямою СМ у т. В — вершині шуканого паралелограма. Аналогічно будуємо вершину D.

Чотирикутник ABCD — паралелограм, оскільки його протилежні сторони попарно паралельні за побудовою.

Залишилось довести, що N — середина CD, а М — середина ВС.

Чотирикутник OMCN — паралелограм, оскільки його діагоналі ОС і MN точкою перетину К діляться навпіл. Отже, ON ∥ ВС ∥ AD, а оскільки О — середина АС, то N — середина CD. Аналогічно для т. М.

За умовою ВС ∥ AD, АК — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠BKA = ∠DAK (внутрішні різносторонні). За умовою АК — бісектриса ∠BAD. За означенням бісектриси кута маємо: ∠ВАК = ∠DAK. Отже, ∠BAK = ∠ВКА. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника: △АВК — рівнобедрений, AB = ВК = 16 см, ВК > ВС. Тому АК перетинає сторону CD.

△АСD — рівнобедрений (АС = AD).

∠ACD = ∠ADC = (180° - 40°) : 2 = 70°. ∠A = ∠D = 70° (кути, прилеглі до більшої основи).

∠A + ∠В = 180° (кути, прилеглі до бічної сторони основи).

∠B = 180° - 70° = 110°. ∠B = ∠C = 110° (кути, прилеглі до меншої основи).

∠BEC = 100° : 2 = 50°. ∠ВЕС і ∠CEA — суміжні. За теоремою про суміжні кути: ∠BEC + ∠CEA = 180°, ∠CBA = 180° - 50° = 130°. Розглянемо △СЕА. За теоремою про суму кутів трикутника: ∠А + ∠CEA + ∠ЕСА = 180°, ∠ЕСА = 180° - (∠A + ∠СЕА), ∠ЕСА = 180° - (130° + 35°) = 180° - 165° = 15°. ∠ЕСА опирається на дугу EF. За теоремою про вписані кути маємо: ◡EF = 2∠ЕСА, ◡EF = 2 • 15° = 30°.

∠ANВ — вписаний у коло і спирається на діаметр АВ, тому ∠ANB = 90°.

∠MNB = ∠ANB = 90° як суміжні кути.

Розглянемо △MNB, ∠MNB = 90°, тоді ∠NMB і ∠MBN — гострі.

І. Виконаємо додаткові побудови: продовжимо відрізок АВ за точку В до перетину з колом. AD — хорда (В є AD) і хорду DC. ∠ADC опирається на діаметр АС. За наслідком з теореми про вписані кути: ∠ADC = 90°. Розглянемо △BDC — прямокутний (∠D = 90°). За властивістю кутів прямокутного трикутника: ∠DBC — гострий, ∠АВС є суміжним з ∠DBC, отже, ∠АВС — тупий.

II. Якщо В є АС, тоді ∠АВС = 180°, ∠АВС — розгорнутий.

∠ВСА = ∠BDA = 10° як кути, вписані у коло і спираються на хорду АВ.

∠D = ∠CDB + ∠BDA, ∠D = 70° + 10° = 80°. Розглянемо △CKD, ∠К = 90° (BD ⟂ AC), ∠KCD + ∠KDC = 90°, ∠KCD = 90° - 70° = 20°, ∠C = ∠BCA + ∠ACD, ∠C = 10°+ 20° = 30°.

Оскільки чотирикутник ABCD вписаний у коло, то ∠A + ∠С = ∠B + ∠D = 180°.

∠A + 30° = ∠B + 80° = 180°, ∠A + 30° = 180°, ∠A = 180° - 30° = 150°, ∠В + 80° = 180°, ∠B = 180° - 80° = 100°.

2. Подібність трикутників


15