ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас
Ні, не вірно, цей чотирикутник може бути або прямокутником, або квадратом. Але ці фігури є окремими випадками паралелограма. А може бути рівнобічною трапецією.
Ні, не вірно, цей чотирикутник може бути рівнобічною трапецією, що не є паралелограмом.
3) Ні, не вірно, цей чотирикутник може бути рівнобічною трапецією, що не є паралелограмом.
Так, вірно, цей чотирикутник буде ромбом, а ромб є окремим випадком паралелограма.
5) Так, вірно.
6) Так, вірно.
7) Так, вірно.
Так. ВС ∥ AD, △ABD = △CDB. З рівності трикутників виходить, що ВС = AD, оскільки ВС = AD і ВС ∥ AD, то ABCD — паралелограм.
Так. BC ∥ AD, ВD ∩ AС = ц. О, АО = ОС. Розглянемо △ВОС і △DOA. CO = ОА; ∠BOC = ∠DOA (вертикальні); ∠BCO = ∠DAO (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній АС). △ВОС = △DOA за II ознакою рівності трикутників. Тоді ВС = AD, якщо ВС ∥ AD, то ABCD — паралелограм.
Ні. АВ = CD, АС = BD. Але така фігура — трапеція рівнобічна.
РABCD = 4АВ, 4АВ = 8, АВ = 8 : 4, АВ = 2 (см).
Розглянемо △ANB — прямокутний, ∠A = 90° (за умовою BN — висота, BN ⟂AD). Якщо АВ = 2 см, BN = 1 см. Тому за властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо ⟂A = 30°. За властивістю кутів ромба, що належать одній стороні: ⟂A + ⟂D = 180°, ⟂D = 180° - ⟂A, ⟂D = 180° - 30° = 150°.
Оскільки висоти AM і АК проведені з тупого кута, то ⟂KAM = ⟂B = 40°.
Розглянемо △АВМ і △ADK.
1. АВ = AD (сторони ромба).
2. ⟂B = ⟂D (протилежні кути ромба).
3. ⟂AMB = ⟂AKD = 90°.
Отже, △АВМ = △ADK (за гіпотенузою і гострим кутом), з цього виходить, що AM = АК. △АМК — рівнобедрений (AM = АК), тоді ⟂АКМ = ⟂АМК = (180° - ⟂MAK); 2, ⟂AKM = ⟂АМК - (180° - 40°) : 2 = 70°.
За умовою ⟂ABN : ⟂NВС = 1 : 3. Нехай ⟂АВN = х, тоді ⟂NВС = 3x. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ⟂ABC = ⟂ABN + ⟂NВС, ⟂АВС = 90° (за умовою ABCD — прямокутник). Отже, маємо: х + 3х = 90; 4х = 90; х = 90 : 4; х = 22,5. Тому ⟂ABN = 22,5°, ⟂NВС = 3 • 22,5° = 67,5°.
Розглянемо △ABN — прямокутний (⟂N = 90°, за умовою BN — висота, BN ⟂АС). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ⟂АВN + ⟂BAN = 90°; ⟂BAN = 90° - ⟂ABN; ⟂ВАN = 90° - 22,5° = 67,5°. За умовою ABCD — прямокутник. За властивістю діагоналей прямокутника маємо: BD =
= АО, тому △ВОС — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника: ∠BAO = ∠ABО = 67,5°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠NBO = ∠АBО - ∠ABN, ∠NBO = 67,5° - 22,5° = 45°.
Розглянемо △КОС і △МОА. ∠КОС = ∠MOA = 90°; ОС = ОА; ∠СКО = ∠AMO = 60° (як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD і січній КМ).
Отже, △КОС = △МОА (за катетом і гострим кутом), тоді
818. Нехай сторона ромба а, тоді РABCD = 4а, оскільки РABCD - а = 42, то 4а - а = 42, 3а = 42, а = 14. РABCD = 4 • 14 = 56 (см).
Ні, не вірно, або прямокутник, або квадрат (квадрат є окремим випадком прямокутника), або рівнобічна трапеція.
Так, вірно, квадрат.
3) Ні, не вірно, або квадрат, або ромб.
4) Так, вірно.
Ні, не вірно, може бути рівнобічною трапецією.
Розглянемо △DBF і △FED.
1) DB = FE.
2) BF = DE.
3) DF — спільна.
Отже, △DBF = △FED (за III ознакою рівності трикутників), з цього випливає, що ∠BDF = ∠EDF, тоді DF — бісектриса ∠BDE, т. F належить бісектрисі ∠BDF.