ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Проведемо DK ∥ АЕ. Розглянемо △АEС, т. D — середина AC, DK ∥ АЕ, тоді за теоремою Фалеса т. К — середина ЕС.

Розглянемо △DBK: ME ∥ DK, ВМ : MD = 3 : 2, то за теоремою Фалеса BE : EK = 3 : 2. BE = 3x, EK = 2х, ЕК = КС = 2х.

(AF — бісектриса ∠А). ∠BFA = ∠FAD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ AD і січній АF). ∠BAF = ∠FAD = ∠BFA, тоді △ABF — рівнобедрений з основою AF, AB = BF. Проведемо DK ∥ EF, BE : ED = 2 : 7, тоді за теоремою Фалеса BF : FK = 2 : 7. BF = 2х = AB, FK = 7х.

Розглянемо △ABF і △DCK; AB = DC (протилежні сторони паралелограма); ∠BAF = ∠CDK; ∠ABF = ∠DCK. Отже, △ABF = △DCK за II ознакою рівності трикутників, тоді BF = СК = 2х. FC =

ВС = ВК + КС, ВС = 2х + х = 3х,

BK = BD + DK, 2x = 1,5x + DK,

DK = 2x - 1,5x = 0,5x, ВС = 18 см,

18 = 3х, х = 18 : 3, х = 6. KС = 6 см,

DK = 0,5 • 6 = 3 см, BD =1,5 • 6 = 9 см.

835. Оскільки висота BD проведена до основи, то BD є медіаною (AD = DC).

ADEF — ромб, AB = a, AC = b. Оскільки ADEF — ромб, то AD = DE = EF = FA = x, BD = AB - AD, BD = a - x. DE ∥ AF (як протилежні сторони ромба). △ABC ~ △DBE.

Нехай AB = х (см), тоді AD = 36 - x (cм). Нехай у (см) — одна частина, тоді ВК = 5у (см), ВМ = 7у (см). SABCD = ВК • AD = ВМ • DC. 5у • (36 - х) = 7у • х; 5(36 - х) = 7х; 180 - 5х = 7х; 180 = 12х; х = 180 : 12; х = 15. АВ = 15 см, AD = 36 - 15 = 21 см, АВ = CD = 15 см, AD = ВС = 21 см.

Оскільки три точки не лежать на одній прямій, то вони утворюють △АВС.

Проведемо пряму а, яка містить середню лінію MN, тоді AK ⟂ a, CF ⟂ a, BR ⟂ a, AK = BR = CF, так як △KAM = △RBM (за гіпотенузою та гострим кутом), △RBN = △FCN (за гіпотенузою та гострим кутом). Оскільки в △АВС можна провести три середні лінії, то таких прямих можна провести три.

Оскільки т. М знаходиться поза колом, а MB і MD — січні, то MA • MB = МС • MD, 20 • МВ = МС • МD. Нехай АВ = МС = х (см), MB = МА + АВ = 20 + х, MD = МС + CD = х + 11. 20 • (20 + х) = х(х + 11); 400 + 20х = х2 + 11х; х2 + 11х - 20х - 400 = 0; x2 - 9х - 400 = 0; х1 = 25, х2 = -16 — не задовольняє умову (х > 0). АВ = 25 см.


15