ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас
Позначимо S△AOM = S5, S△MOC = S4, S△COK = S3, S△KOB = S2, S△BOF = S1, S△AOF = S6. Оскільки AK — медіана, то S△ABK = S△AKC. S6 + S1 + S2 = S5 + S4 + S3. Але S2 = S3, так як OK — медіана △ВОС. S6 + S1 = S5 + S4. S1 = S6 (OF — медіана △АОВ), S5 = S4 (OM — медіана △АОС). 2S6 = 2S5, S6 = S5. Отже: S6 = S1 = S2 = S3 = S4 = S5.
Поділимо сторони AD і DC на 3 рівні частини кожну і позначимо на AD т. М так, що AM : MD = 2 : 1, на DC — т. N так, що CN : DN = 2 : 1. Проведемо прямі ВM і BN. S△АВМ = SMBND = SMBND (S△MBN = S△MBD + S△BDN, кожна з яких дорівнює половині S△АВМ).
У △АВС (∠C = 90°) вписано коло з центром О, точки його дотику з АВ — К, з ВС — L, з АС — М. І нехай КВ = АК + 14 см. За властивістю дотичних, проведених із однієї точки до кола АМ = AK, LB = KB, MC = CL = 4 см. Позначимо довжину АК як х см, х > 0, тоді KВ — (х + 14) см, АВ — х + х + 14 = 2х + 14 (см), АС — (х + 4) см, ВС — х + 14 + 4 = х + 18 (см). За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + ВС2, тоді (2х + 14)2 = (х + 4)2 + (х + 18)2, 4х2 + 56х + 196 = х2 + 8х + 16 + х2 + 36х + 324, 2х2+ 12х - 144 = 0, х2 + 6х - 72 = 0, звідки х1 = 6, х2 = -12 < 0. Отже, х = 6, тоді АС = 6 + 4 = 10 (см), ВС = 6 + 18 = 24 (см).
