ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У паралелограма ABCD ВН і ВК — висоти, ∠НВК = 30°, ВН = 4 см, ВК = 6 см. За висновком задачі 69 ∠A = ∠С = ∠НВК = 30°. У △АВН ∠АНВ = 90°, ВН — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді АВ = 2ВН, АВ = 4 • 2 = 8 (см). У △ВКС ∠ВСК = 90°, ВК — катет, що лежить проти кута в 30°, тоді ВС = 2ВК, ВС = 6 • 2 = 12 (см). РABCD = 2(АВ + ВС), РABCD = 2 • (8 + 12) = 40 (см).

У △АВС: АВ = ВС,К є АС; МК ∥ ВС, М є АВ, КЕ ∥ АВ, Е є ВС. КМВЕ — паралелограм. РKMBE = 2(МВ + МК). У рівнобедреного △АВС ∠А = ∠С, ∠C = ∠MKA (відповідні при паралельних прямих МК і ВС та їхній січній КС), тоді ∠А = ∠МКА і △АМК — рівнобедрений, AM = МК. Тоді PKMBE = 2(МВ + AM) = 2АВ. Отже, периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі бічних сторін заданого трикутника.

Через вершини △АВС проведено прямі, паралельні протилежним сторонам і перетинаються в точках K, М, Е так, що КЕ ∥ ВС, KM ∥ AC, ME ∥ АВ. Утворились паралелограми АВМС, АВСЕ, АКВС. РABMC = 2(ВМ + МС), РABCE = 2(СЕ + АЕ), РAKBC = 2(АК + КВ), а їхня сума РABMC + РABCE + РAKBC = 2(ВМ + МС + СЕ + АЕ + АК + KB) = 2((ВМ + ВК) + (МС + СЕ) + (АК + АЕ)) = 2(КМ + ME + КЕ) = 100 см за умовою, тобто KM + ME + КЕ = 100 : 2 = 50 (см). KM + ME + КЕ = РKME = 50 см.

Побудуйте ∠A. На одній із сторін ∠A відкладемо сторону АВ, на іншій — сторону AD. Коло з центром у т. В, радіусом AD перетне коло з центром у т. D, радіусом АВ в точці С. Побудуємо відрізки ВС і DC. ABCD — шуканий паралелограм.

На промені АО від т. О відкладемо відрізок, рівний АО. Одержимо т. С. На промені ВО від т. О відкладемо відрізок, рівний відрізку ВО. Одержимо т. D. Побудуємо відрізки ВС, CD, AD. ABCD — шуканий паралелограм.

Побудуємо ∠ВАС. На стороні АВ ∠BAC відкладемо сторону АВ. На стороні АС — діагональ АС. Поділимо АС навпіл. О — середина АС, точка перетину діагоналей. Проведемо промінь ВО і на промені ВО від т. О відкладемо відрізок OD = ВО. Побудуємо відрізки ВС, CD, AD. ABCD — шуканий паралелограм.

Побудувати △АВС за трьома сторонами. Побудуємо промінь AD ∥ ВС і промінь CD ∥ AB. AD і CD перетинаються в т. D. ABCD — шуканий паралелограм.

Продовжимо відрізок СО за т. О і на продовженні відкладемо відрізок ОА = ОС. Продовжимо відрізок OD за т. О і відкладемо на продовженні відрізок OB = OD. Побудуємо відрізки AB, ВС, AD. ABCD — шуканий паралелограм.

77. А, М, N — точки, які не лежать на одній прямій. Нехай AN — діагональ паралелограма. О — середина AN. Проведемо промінь МО і від т. О відкладемо ОР = MO. AMNP — шуканий паралелограм.

Якщо MN — діагональ, то AMKN — шуканий паралелограм.

Якщо AM — діагональ паралелограма, то ACMN — шуканий паралелограм.

Задача має 3 розв’язки.

У паралелограма ABCD бісектриси ∠B і ∠С перетинаються в т. К, К є AD. Оскільки ВС ∥ AD і ВК — їхня січна, то ∠АКВ = ∠СВК, ∠АВК = ∠СВК, звідки ∠АВК = ∠АКВ і △АВК — рівнобедрений, АВ = АК; ∠DKC = ∠ВСК, ∠DCK = ∠ВСК, звідки ∠DCK = ∠DKC і △KCD — рівнобедрений, CD = KD. Оскільки CD = АВ, то AD = АК + KD = AB + CD = 2АВ. Тоді відношення AB : AD = AB : 2АВ = 1 : 2.

Побудуємо сторону AD. З будь-якої точки відрізка AD проведемо перпендикуляр і відкладемо на ньому відрізок, довжина якого h. Через кінець цього відрізка, який не лежить на AD, проведемо пряму а, паралельну АD. Побудуємо коло з центром в т. А, радіусом АС. Це коло перетне пряму а в т. С. Побудуємо відрізок DC. Через т. А проведемо відрізок, паралельний CD. Цей відрізок перетне пряму а в т. В. ABCD — шуканий паралелограм.

Побудуємо кут А. На одній із сторін кута А виберемо довільну точку. Проведемо через цю точку перпендикуляр до сторони, на якій вибрали точку і відкладемо на перпендикулярі в одну півплощину з іншою стороною кута А відрізок, довжина якого дорівнює ВК. Через кінець відрізка, що не лежить на стороні кута, проведемо пряму b, паралельну цій стороні кута. Пряма b перетне іншу сторону ∠A в т. В. З т. В проведемо перпендикуляр до сторони ВА і відкладемо на цьому перпендикулярі відрізок ВМ. Через т. М проведемо пряму с, паралельно АВ. Ця пряма перетне пряму b в т. С, а сторону АК кута А в т. D. ABCD — шуканий паралелограм.


15