ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Побудуємо відрізок AD. З будь-якої точки відрізка AD побудуємо перпендикуляр і на ньому відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює ВК. Через кінець відрізка, який не належить AD, проведемо пряму а, а ∥ AD. Коло з центром А, радіусом АВ перетне а в т. В. Через точку D проведемо пряму, паралельну АВ. Ця пряма перетне пряму а в т. С. ABCD — шуканий паралелограм.

FC ⊥ CD. Оскільки CD ∥ АВ, то FC ∥ АВ. FA ∥ AD, оскільки AD ∥ ВС, то FA ⊥ BC. Отже, т. F — точка перетину висот FA і FC △АВС. За умовою BE — висота △АВС, бо BE ⊥ АС. Тому BE проходить через т. F, або F належить прямій BE.

83. Нехай ABCD — шуканий паралелограм AO + OD = AO + ON — півсума діагоналей. △NOD — рівнобедрений, тоді

Побудуємо ∠AND. На стороні NA відкладемо NА, яка дорівнює півсумі діагоналей. Коло з центром A, R = AD (відома сторона) перетне промінь ND в т. D. Від променя DN в одну півплощину з т. А відкладемо кут, що дорівнює ∠OND. Сторона цього кута, яка не збігається з DN, перетне AN в т. О. О — точка перетину діагоналей паралелограма. Продовжимо промінь АО і на ньому від т. О відкладемо відрізок ОС = АО. Продовжимо промінь DO і від т. О відкладемо ОВ = DO. Будуємо відрізки АВ, ВС, CD. ABCD — шуканий паралелограм.

На стороні АВ побудовано △АВМ, де АВ = AM = ВМ, на стороні ВС паралелограма ABCD — △ВСК, де ВС = ВК = СК. Позначимо величину ∠BAD як х°. Тоді ∠МАВ = ∠МBА, ∠КСВ = 60°. Розглянемо △MCD, △DCK та △МВК: AM = DC = MB, AD = KC = BK, ∠MAD = 60° + х, ∠DCK = 60° + x, ∠MBK = 360° - ∠MBA - ∠ABC - ∠KBC = 360° - 60° - (180° - x°) - 60° = 240° - 180° + x° = 60° + x°, отже, ∠BAD = ∠DCK = ∠MBK. Тоді △MAD = △DCK = △MBK за двома сторонами та кутом між ними, отже, MD = DK = МК, тобто △MKD — рівносторонній.

85. Побудуйте заданий кут А та задану точку М всередині кута.

Через точку М проведемо пряму, паралельну одній із сторін кута. Точку перетину прямої і другої сторони кута позначимо за К. На цій стороні кута від точки К відкладемо відрізок КВ, що дорівнює АК, так, щоб точка К лежала між А і В. Проведемо через точки В і М пряму і точку її перетину з іншою стороною кута позначимо за С. Тоді М — середина ВС, оскільки К — середина АВ, КМ ∥ АС, отже, КМ — середня лінія △АВС, ВМ = МС.

86. 1 випадок:

Точка С лежить між т. А і В.

АВ = 24 см, ВС = 5АС, АВ = 4BD.

24 = 4BD, BD = 6 см. АВ = ВС + АС,

АВ = 5АС + АС, АВ = 6АС, 24 = 6АС, АС = 4 см.

CD = АВ - (АС + DB),

CD = 24 - (4 + 6) = 14 см.

2 випадок:

Точка С лежить ліворуч від т. А і В.

24 = 4BD, BD = 6 см. АВ = ВС - АС, АВ = 5АС - АС, АВ = 4АС, 24 = 4АС, АС = 6 см.

CD = CA + AD, AD = АВ - DB,

АD = 24 - 6 = 18 см. CD = 6 + 18 = 24 см.

87. 1) Прямокутні трикутники зі стороною 5 см і кутом 45° нерівні, якщо в одному трикутнику 5 см — це катет, а в другому 5 см — гіпотенуза.

2) 4 нерівних трикутника.

Оскільки АС і BD — діаметри кола, то АС = BD, т. О — центр кола і точка перетину діагоналей. BO = OD = АО = ОС= R. △АОВ і △COD (І ознака). АО = ОС; BO = OD; ∠BOA = ∠COD (вертикальні). Отже, △АОВ = △COD (за І ознакою рівності трикутників).

З цього випливає ∠OCD = ∠OAB, ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих АВ і CD та січній АС. Оскільки ці кути рівні, то АВ ∥ CD.