ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

За побудовою EF ∥ BD, ЕВ ∥ EF як прямі, на яких лежать протилежні сторони паралелограма ABCD. Тоді EBDF — паралелограм за означенням і EF = BD. МК ∥ BD, бо лежать на прямій EF, МВ ∥ KD як прямі, на яких лежать сторони паралелограма ABCD, тоді KMBD — паралелограм за означенням і МК = BD. Маємо: МК = BD = EF, отже, МК = EF.

За побудовою МК ∥ AC, AM ∥ СК як прямі, на яких лежать сторони АВ і CD, тоді АМКС — паралелограм за означенням і МК = АС. Аналогічно міркуючи, маємо: PN ∥ AC, PA ∥ NC, тоді PNCA — паралелограм і PN = АС. Отже, PN = АС = МК, тоді PN = МК; PM = PN - MN, NK = МК - MN, тоді PM = NK.

Нехай у паралелограма ABCD проведено бісектрису AM і ∠BMA = 24°. ∠MAD = ∠BMA, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та їхній січній AM, тоді ∠BMA = ∠MAD = 24°. ∠BAM = ∠MAD, ∠BAD = 2∠BAM, ∠BAD = 48°, оскільки AM — бісектриса. ∠B = 180° - ∠BAD, ∠B = 180° - 48° = 132° за властивістю суми сусідніх кутів. ∠C = ∠BAD = 45°, ∠D = ∠B = 132°.

64. AM — бісектриса ∠A, тоді ∠BAM = ∠MAD. ∠BAM = ∠MAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та їхній січній АМ. Тоді ∠BAM = ∠BMA i ∠АВМ — рівнобедрений з основою АМ. ВМ = АВ = 12 см. ВС = ВМ + МС, ВС = 12 + 16 = 28 (см). РABCD = 2(АВ + ВС). РABCD = 2 • (12 + 28) = 80 (см).

У паралелограма ABCD бісектриса AM ділить ВС так, що ВМ : МС = 3 : 5, а РABCD = 66 см. ∠BAM = ∠MAD (AM — бісектриса ∠A), ∠BMA = ∠MAD (властивість паралельних прямих), тоді ∠BAM = ∠BMA і △АВМ — рівнобедрений, AB = AM. Позначимо коефіцієнт пропорційності відрізків ВМ і МС як х, тоді ВМ = 3х см, МС = 5х см, АВ = 3х см, ВС = (3х + 5х) = 8х (см), РABCD = 2(3х + 8х) = 22х (см). 22х = 66, х = 3; АВ = 3 • 3 = 9 (см), ВС = 3 • 8 = 24 (см). CD = 9 см, AD = 24 см.

ВК — бісектриса ∠B, тоді ∠CBK = ∠ABK, ∠CKB = ∠ABK за властивістю паралельних прямих, тоді ∠CBK = ∠CKB і △ВСК — рівнобедрений, у якого ВС = СК. Нехай KD = х см, тоді СК = 5х см і DC = 6х см, ВС = 5х см. РABCD = 2(5х + 6х) = 22х (см). Отже, 22х = 88, х = 4. ВС = 4 • 5 = 20 (см), CD = 4 • 6 = 24 (см), АВ = CD = 24 см, AD = ВС = 20 см.

67. У паралелограма ABCD АВ = CD = 3 см, AD = 12 см. BE — бісектриса ∠B, тоді ∠ABE = ∠CBE; ∠BEA = ∠CBE за властивістю паралельних прямих, отже, ∠ABE = ∠AEB, △АВЕ — рівнобедрений і АВ = АЕ = 3 см. CF — бісектриса ∠C, тоді ∠BCF = ∠DCF; ∠DFC = ∠BCF за властивістю паралельних прямих, отже, і ∠DCF = ∠DFC, △FCD — рівнобедрений і FD = DC = 3 см. AD = АЕ + EF + FD, звідки FE = AD - (АЕ + FD), EF = 12 - (3 + 3) = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

За умовою ВН ⊥ AD, тоді у △ВНМ ∠ВНМ = 90°, ∠НВМ = 24°, а ∠ВМН = 90° - ∠НВМ, ∠ВМН = 90° - 24° = 66°. За властивістю паралельних прямих ∠CBM = ∠ВМН = 66°. ВМ — бісектриса ∠ABC, тоді ∠ABC = 2∠СВМ, ∠АВС = 66° • 2 = 132°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠A = 180° - ∠ABC = 180° - 132° = 48°. ∠C = ∠A = 48°, ∠D = ∠ABC = 132°.

У паралелограма ABCD: ВН ⊥ AD, ВК ⊥ DC. У прямокутного △СВК ∠СВК = 90° - ∠C. ∠СВН = 90°, тоді ∠НВК = 90° - ∠CBK = 90° - (90° - ∠C) = 90° - 90° + ∠C = ∠C. Отже, кут між висотами, проведеними із вершин тупого кута дорівнює гострому куту паралелограма.

70. Нехай у паралелограма ABCD АН ⊥ ВС, АК ⊥ CD, ∠НАК — шуканий кут. АН ⊥ AD, тоді ∠HAB = 90° - ∠BAD; АК ⊥ BA, ∠DAK = 90° - ∠BAD; ∠HAK = ∠HAB + ∠BAD + ∠DAK, ∠HAK = 90° - ∠BAD + ∠BAD + 90° - ∠BAD = 180° - ∠BAD.

За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠АВС = 180° - ∠BAD, отже, ∠НАК = ∠АВС — кут між висотами, проведеними із вершин гострого кута, дорівнює тупому куту паралелограма.


15