ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

651. ∠A = 116°, ∠B = 98°, ∠C = 124°, ∠D = 102°, ∠E = 130°.

За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо: 180° • (n - 2); n = 5; 180° • (5 - 2) = 180° • 3 = 540°.

Отже, перевіримо рівність ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540°.

116° + 98° + 124° + 102° + 130° = 540°;

(116° + 124°) + (98° + 102°) + 130° = 240° + 200° + 130° = 570°; 570° ≠ 540°.

652. Нехай 3х, 3х, 4х, 4х, 5х, 5х — кути шестикутника, тоді 3х + 3х + 4х + 4х + 5х + 5х = 180° • (6 - 4); 24х = 360°; х = 15°. Тоді 3 • 15° = 45, 4 • 15 = 60°, 5 • 15° = 75. Отже, 45°, 45°, 60°, 60°, 75°, 75° — кути шестикутника.

653. Нехай кути шестикутника 6х°, 7х°, 8х°, 9х°, 9х°, 10х°, 11х°, а сума S7 = 6х° + 7х° + 8х° + 2 • 9х° + 10х° + 11 х° = 60х°; 180° • (7 - 2) = 180° • 5 = 900°, тоді 60х = 900, х = 15. Отже, кути: 15 • 6 = 90°, 15 • 7 = 1052°, 15 • 8 = 120°, два кути по 15 • 9 = 135°, 15 • 10 = 150°, 15 • 11 = 165°.

ABCD... — многокутник, вписаний у коло, О — центр кола. АВ = ВС = CD = ... = KA. ОА = ОВ = ОС = OD = ... = OK (радіуси одного кола). АВ = ВС = CD = ... КА. Звідси △АОВ = △ВОС = △COD =... = △KOA. Тоді ∠AOВ = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB = ∠OCD = ... = ∠OAK. ∠B = ∠OBA + ∠ОВС, ∠С = ∠OCB + ∠OCD, звідки ∠B = ∠С. Аналогічно ∠С = ∠D і т. д. Отже, ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = ... = ∠К.

За умовою А1А2А3...Аn — многокутник, описаний навколо кола. Центром кола є точка перетину бісектрис кутів многокутника. За умовою ∠А1 = ∠A2 = ∠А3 = ... = ∠An. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АnА1О = ∠OA1A2, ∠A1A2O = ∠OA2A3; ... Звідси: △A1OA2; △А2ОА3; △A3OA4; ... — рівнобедрені (за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника). ОВ1, ОВ2, ОВ3, ... — радіуси кола, вписаного у многокутник. За властивістю кола, вписаного у многокутник, маємо: ОВ1 ⟂ А1А2, ОВ2 ⟂ А2А3, ОВ3 ⟂ A3A4, ... Отже, OB1 — висота △А1ОА2, ОВ2 — висота △А2ОА3, ОВ3 — висота △A3OA4, ... За властивістю висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи ОВ1, ОВ2, ОВ3, ... — медіани. Отже, A1B1 = B1A2, A2B2 = B2A3, ...

Розглянемо △OB1A2 і △ОВ2А2 — прямокутні (∠OB1A2 = ∠ОВ2A2 = 90°). ∠ОА2В1 = ∠ОА2В2 (за означенням бісектриси кута), ОА2 — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: А2В1 = А2В2. Звідси А1А2 = А2А3.

Нехай у п’ятикутника ABCDE АВ = ВС = CD = DE = АЕ, ∠A = ∠В = 90°. Оскільки AЕ ⟂ АВ, ВС ⟂ АВ, то АЕ ∥ ВС, АЕ = ВС, тоді АВСЕ — паралелограм, а оскільки ∠A = ∠В = 90°, то АВСЕ — прямокутник, а оскільки АВ = ВС, то АВСЕ — квадрат. Тоді АС = ED = DC, і △ECD — рівносторонній, і його кути ∠D = ∠CED = ∠ECD = 60°. Отже, у п’ятикутника ∠AED = ∠АЕС + ∠CED = 90° + 60° = 150°, ∠D = 60°, ∠BCD = ∠ВСЕ + ∠ECD = 90° + 60° = 150°.

659. Нехай у многокутника n сторін, тоді і n кутів. Величина 3-х кутів по 100°, а решти — (n - 3) — по 120°. Тоді сума S всіх кутів: S = 3 • 100° + (n - 3) • 120° = 300° + 120°n - 360° = 120°n - 60°. За формулою суми кутів многокутника S = 180°(n - 2). Тоді 180°(n - 2) = 120°n - 60°; 180°n - 120°n = 360° - 60°, 60°n = 300°, n = 5. Отже, заданий многокутник — п’ятикутник.

Нехай у п’ятикутнику ABCDE ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E. Сума його кутів S5 = 180° • (5 - 2) = 540°. ∠AEB + ∠CDE = 108° + 108° = 216° ≠ 180°, а це внутрішні односторонні кути при АЕ і CD та січній ED, тоді АЕ ∦ ВС. Аналогічно ED ∦ AB, ED ∦ ВС, CD ∦ АВ.

За умовою AC — бісектриса ∠BCD. За означенням бісектриси кута маємо ∠BCA = ∠ACD. За означенням трапеції маємо: ВС ∥ AD, АС — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні). Отже, △ACD — рівнобедрений. AD = DC. MN — середня лінія трапеції. За теоремою Фалеса маємо: MP — середня лінія △ВАС і PN — середня лінія △АСD.

За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ВС = 2МР — 2 • 7 = 14 см, АВ = 2PN = 2 • 11 = 22 см. Отже, АВ = СВ = АD = 22 см. Р = АВ + ВС + СВ + АD, Р = 14 + 22 • 3 = 14 + 66 = 80 (см).

За умовою ВD — медіана, проведена до гіпотенузи. За властивістю прямокутного трикутника маємо: АС = 2ВD, АС = 2 • 13 = 26 (см), АD = DС = ВD = 13 см. За теоремою Піфагора маємо: ВD2 = BN2 + ND2, ND2 = ВD2 - BN2, ND2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25, ND = 5 см.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AN = AD - ND, AN = 13 - 5 = 8 (см), NC = ND + DC, NC = 13 + 5 = 18 (cм). BN — висота, проведена з вершини прямого кута. За властивістю метричних співвідношень в прямокутному трикутнику маємо: АВ2 = AN • АС,


15