ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У △АВК ∠АКВ = 90°, тоді ∠A + ∠АВК = 90°, звідки ∠A = 90° - ∠АВК, ∠А = 90° - 30° = 60°. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠C = ∠A = 60°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠A + ∠ABC = 180°, звідки ∠АВС = 180° - 60° = 120°, ∠D = ∠АВС = 120°.

Сторона AD = АК + KD, AD = 4 + 6 = 10 (см).

У паралелограма ABCD: ∠А = 45°, висота ВК = 3 см, АК = KD, діагональ BD сполучає вершини тупих кутів.

З △АВК: ∠АКВ = 90°, ∠А = 45°, тоді △ВК — рівнобедрений і АК = ВК = 3 см. За умовою АК = KD, тоді AD = 2АК, AD = 3 • 2 = 6 (см). Прямокутні △BKD = △ВКА, оскільки ВК — спільна, KD = АК. Тоді ∠BDA = ∠BAD = 45°. У △ABD ∠ABD = 180° - (∠ВАК + ∠BDK), ∠ABD = 180° - (45° + 45°) = 90°.

54. Не можуть, так як у △MNK ∠M + ∠К + ∠N = 180°, а у паралелограма ABCD ∠А + ∠B + ∠С > 180° (сума ∠А + ∠B = 180°).

55. ABCD — паралелограм. Проведемо діагональ АС і опустимо на неї перпендикуляри BH і DK, ВН ⊥ AC, DK ⊥ АС.

Оскільки AB ∥ CD, то ∠ВАН = ∠KCD, як внутрішні різносторонні при АВ ∥ CD та їхній січній АС. За властивістю протилежних сторін паралелограма АВ = CD. Тоді прямокутні △АВН = △CDK за гострим кутом і гіпотенузою, звідки: ВН = DK. Отже, вершини В і D рівновіддалені від АС.

Точка О — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD. Проведемо через т. О відрізок LM, де L є AB, М є CD. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, отже, АО = СО. ∠LAO = ∠MCO, як внутрішні різносторонні кути при AB ∥ CD та їхній січній AC; ∠LOA = ∠МОС, як вертикальні, тоді △LAD = △МСО за стороною і прилеглими до неї кутами. Тоді LO = МО. Оскільки відрізок LM обрано довільно, то будь-який відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей та кінці якого належать протилежним сторонам паралелограма, діляться цією точкою навпіл.

РABCD = 24 см, ∠ABC = 160°, ∠CAD = 10°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠ABC + ∠BAD= 180°, звідки ∠BAD = 180° - 160° = 20°; ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD, звідки ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD, ∠BAC = 20° - 10° = 10°. Оскільки ВС ∥ AD, то ∠BCA = ∠CAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та їхній січній АС, отже, ∠BCA = 10°. Тоді △АВС — рівнобедрений з основою АС, тоді AB = ВС. Маємо РABCD = 2(АВ + ВС) = 4АВ, звідки АВ = 24 : 4 = 6 (см). Усі сторони по 6 см.

∠A = ∠C = 50°. У △АВС ∠ABD = 65° за умовою, тоді ∠ADB = 180° - (∠ABD + ∠A), ∠ADB = 180° - (65° + 50°) = 65°. Отже, △ABD — рівнобедрений з основою BD, тоді AD = АВ = 8 см. РABCD = 2(АВ + AD), РABCD = 2 • (8 + 8) = 32 (см).

За умовою ∠ABD = 90° і АВ = BD, отже, △ABD — прямокутний і рівнобедрений, тоді ∠BAD = 45°, ∠ABC = 180° - ∠BAD, ∠ABC = 180° - 45° = 135° за властивістю суми сусідніх кутів паралелограма. Відповідно, ∠C = ∠BAD = 45°, ∠D = ∠ABC =135°.


15