ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

2. Паралелограм. Властивості паралелограма

а ∥ b ∥ с, m ∥ n. Утворилося 3 паралелограма: ABCD, MADN, MBCN.

38. Неправильно позначено на рисунку:

а) сторони 3 і 4 протилежні, вони повинні бути рівні, кути 25° і 20° — внутрішні різносторонні також повинні бути рівні;

в) протилежні кути рівні, а на рисунку 54° і 56°, 54° ≠ 56°;

г) діагоналі точкою перетину діляться навпіл, а на рисунку 5 ≠ 6;

ґ) менша сторона дорівнює 6, а на рисунку 7 (6 ≠ 7).

39. 1) 2 • (14 + 8) = 44 > 40, отже, дроту не вистачить;

2) 2 • (16 + 4) = 40, отже, дроту вистачить;

3) 2 • (12 + 6) = 36 < 40, отже, дроту вистачить,

40. 1) Позначимо довжину меншої сторони х см, тоді довжина більшої (х + 12) см. Периметр 2(х + х + 12) = 112, звідки: 2х + 12 = 56, 2х = 44, х = 22. Отже, довжина меншої сторони 22 см, більшої — 22 + 12 = 34 (см).

2) Нехай довжини сторін паралелограма — 5х см і 9х см, а периметр — (25х + 9х) = 112, звідки: 14х = 56, х = 4. Тоді довжини сторін паралелограма 4 • 5 = 20 (см) і 4 + 9 = 36 (см).

41. Нехай менша сторона паралелограма х см, тоді більша сторона — 5х см. За умовою периметр паралелограма 96 см, тоді 2(х + 5х) = 96, 6х = 48, х = 8. Отже, менша сторона 8 см, більша — 8 • 5 = 40 (см).

За означенням паралелограма його протилежні сторони попарно паралельні: АВ ∥ CD, ВС ∥ AD. ∠В і ∠А — сусідні і є внутрішніми односторонніми кутами при прямих ВС i AD та їхній січній АВ, тоді за властивістю паралельних прямих ∠А + ∠В = 180°, Аналогічно отримаємо: ∠А + ∠D = 180°, як суму кутів при АВ ∥ CD та їхній січній AD.

За властивістю паралелограма протилежні кути рівні, тоді ∠С = ∠А і ∠С = ∠В = 180°, ∠C = ∠D = 180°. Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма 180°.

44. 1) Якщо один з кутів паралелограма 70°, а протилежний йому має величину 70°, а сусідні по 180° - 70° = 110°.

2) Якщо сума заданих кутів 100°, то ці кути протилежні і кожен з них дорівнює по 100° : 2 = 50°. Сусідні для них кути мають величину 180° - 50° = 130°.

3) Задані кути не рівні, отже, вони сусідні і їхня сума 180°. Оскільки різниця курів 20°, то один менше другого на 20°. Позначимо величину меншого з них як х°, тоді більшого — (+ 20)°. Маємо: х + х + 20° = 180°, 2х = 160°, х = 80°. Величина меншого кута 80°, більшого 80° + 20° = 100°. Два інші кути — 80° і 100°.

4) Нехай 3х та 7х — кути паралелограма. Кути не рівні, отже, сусідні і їхня сума 180°. Маємо: 3х + 7х = 180°, 10х = 180°, х = 18°. Тоді один із кутів 18° • 3 = 54°, другий — 18° • 7 = 106°. Два інші кути 54° і 106°.

45. 1) Позначимо величину меншого кута х°, тоді сусіднього з ним — 2х°. Їхня сума 180°, тоді х + 2х = 180°, х = 60°. Отже, менший кут 60°, більший — 60° • 2 = 120°. Протилежні їм кути мають величину 60° і 120° відповідно.

2) Позначимо величину меншого з кутів х°, тоді сусіднього з них — (х + 24)°. Їхня сума 180°, тоді х + х + 24 = 180°, 2х = 156°, х = 78°. Отже, менший із кутів 78°, сусідній — 78° + 24° = 102°. Протилежні їм кути мають величину 78° і 102° відповідно.

KM ∥ AN, KN ∥ AM, тому AMKN — паралелограм. ∠А = ∠К = 35°, ∠M = ∠N = 180° - 35° = 145°.

47. З △ABD: ∠А + ∠ABD + ∠BDA = 180°. ∠А = 180° - (68° + 47°)= 180° - 115° = 65°. ∠A = ∠C = 65° (як протилежні кути паралелограма). ∠A + ∠B = 180° (як сусідні кути паралелограма). ∠B = 180° - 65° = 115°. ∠B = ∠D = 115° (як протилежні кути паралелограма).

За умовою ∠BAC = 32°. За властивістю протилежних кутів паралелограма ∠BAD = ∠BCD = 56°. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD, звідки ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC, ∠CAD = 56° - 32° = 24°. За властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠BAD + ∠D = 180°, звідки ∠D = 180° - ∠BAD, ∠D = 180° - 56° = 124°.

50. Якщо діагональ BD = 16 см, то для △ABD не виконується нерівність трикутника: АВ + AD > BD, але 6 см + 10 см = 16 см. Отже, діагональ не може дорівнювати 16 см.


15