ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

8. Трапеція

ZKOP — трапеція, у якої один із кутів при основі ZP (∠KZP — гострий), а інший при цій же основі (∠OPZ — тупий).

218. а) Трапеція АВСD (основи МС і AD, AM і CD — бічні сторони);

трапеція АВСК (основи ВС і АК, АВ і КС — бічні сторони);

б) трапеція ABDE (основи BD і АЕ, DE і ВА — бічні сторони);

в) трапеція ВСКА (основи ВС і АК, АВ і СК — бічні сторони);

трапеція AMCD (основи МС і AD, AM і CD — бічні сторони).

219. a) ABCD — трапеція, ВС і AD — основи, АВ і CD — бічні сторони;

б) ABCD не є трапецією;

в) ABCD — трапеція, ВС і AD — основи, АВ і CD — бічні сторони.

220. (52 - (13 + 21)) : 2 = 18 : 2 = 9 (см) — бічна сторона трапеції.

221. Нехай менша основа трапеції х см, тоді більша основа (х + 7,4) см. Р = 49 см, тому х + х + 7,4 + 5,6 + 7,8 = 49; 2х + 20,8 = 49; 2х = 28,2; х = 14,1 (см) — менша основа трапеції, 14,1 + 7,4 = 21,5 (см) — більша основа трапеції.

∠A і ∠B — прилеглі до бічної сторони АВ. Ці кути — внутрішні односторонні при ВС ∥ AD та їх січній АВ. За властивістю паралельних прямих сума цих кутів 180°. Аналогічно доводимо, що ∠C + ∠B = 180°. Отже, сума кутів трапеції, прилеглих до її бічної сторони, 180°.

∠B і ∠A — прилеглі до бічної сторони АВ трапеції, тоді ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠A = 180° - ∠B. Оскільки ∠B = 132°, то ∠A = 180° - 132° - 48°. ∠C і ∠D — прилеглі до бічної сторони CD, тоді ∠C + ∠D = 180°. Оскільки ∠D = 24°, то ∠C = 180° - 24° = 156°.

2) Оскільки ∠A і ∠B — прилеглі до однієї бічної сторони, то ∠A + ∠B = 180°. За умовою ∠B = ∠A + 38°, тоді ∠A + ∠A + 38° = 180°, 2∠A = 180° - 38°, 2∠A = 142°, ∠A = 142° : 2 = 71°, a ∠B = 71° + 38° = 109°.

224. Нехай ∠C = 8х°, ∠D = 7х°; 8х + 7х = 180, 15x = 180, x = 12. Maємo: ∠C = 12 • 9 = 96°, ∠D =12 • 7 = 84°.

ABCD — рівнобічна трапеція, ∠A = 46°, тоді ∠D = ∠A = 46°, ∠B = ∠C = 180° - 46° = 134°.

ABCD — рівнобічна трапеція, ∠C - ∠A = 20°. За властивістю кутів рівнобічної трапеції ∠D = ∠A, тоді ∠C - ∠D = 20°. За властивістю кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції; ∠C + ∠D = 180°. Тоді ∠C = 20° + ∠D, 20° + ∠D + ∠D = 180°, 2∠D = 180° - 20° = 160°, ∠D = 160° : 2 = 80°, тоді ∠A = 80°. ∠C = 20° + 80° = 100°, тоді ∠B = ∠C = 100°.

ВН ⊥ AD, ∠ABH = 23°. Якщо ВН ⊥ AD, то ВН ⊥ ВС, ∠НВС = 90°. Тоді ∠ABC = ∠ABH + ∠НВС, ∠АВС = 23° + 90° = 113°. За властивістю кутів трапеції ∠A + ∠ABC = 180°, звідки ∠A = 180° - ∠ABC, тоді ∠A = 180° - 113° = 67°. ∠A = ∠D = 67°, ∠C = ∠B = 113°.

228. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні; 5) ні.

229. 1) Ні, не можуть, бо тоді за ознакою паралелограма (протилежні сторони паралельні і рівні) заданий чотирикутник — паралелограм, тобто має 2 пари паралельних прямих.

2) Ні, бо тоді заданий чотирикутник — паралелограм.

Нехай у трапеції ABCD ∠A = ∠D. Проведемо висоти трапеції ВН і СР, ВН ⊥ AD, СР ⊥ AD. Розглянемо △АВН і △DCP: ∠A = ∠D, ∠AHB = ∠DPC = 90°, ВН = СР як висоти трапеції, тоді △ABH = △DCP, звідки АВ = CD. Отже, ABCD — рівнобічна трапеція.


15