ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

Нехай у трапеції ABCD АВ = CD, тоді ∠A = ∠D. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, тоді ∠D + ∠С = 180° і ∠A + ∠C = 180°. Тобто сума протилежних кутів рівнобічної трапеції 180°. Що й треба було довести. Нехай у трапеції ABCD ∠A + ∠C = 180°, звідки ∠C = 180° - ∠A. За властивістю кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, ∠A + ∠B = 180°, звідки ∠B = 180° - ∠A. Отже, ∠B = ∠C, тобто у трапеції кути при основі рівні. Трапеція — рівнобічна.

Нехай у трапеції ABCD AB ⊥ AD, ВС = 10 cм, AD = 24 cм, ∠D = 45°. Меншою бічною стороною трапеції є АВ, оскільки є перпендикуляром до основ. Опустимо висоту СН до AD, тоді СН = AB, HD = AD - ВС, HD = 24 - 10 = 14 (см). У △CHD ∠CHD = 90°, ∠D = 45°, тоді △CHD — рівнобедрений з основою CD. Отже, CH = HD, тоді СН = 14 см, і АВ = 14 см.

У трапеції ABCD ВС ∥ AD, тоді ∠АСВ = ∠CAD, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній АС, тоді △АСВ = 50°. Оскільки трапеція рівнобічна, то ∠D = ∠А = ∠BAC + ∠CAD = 20° + 50° = 70°. У △ACD ∠ACD = 180° - (∠CAD + ∠D), ∠ACD = 180° - (50° + 70°) = 60°.

Оскільки AB ⊥ AD, то ∠A = 90°, ∠ABC = 90°. ∠CBD = ∠CBA - ∠ABD, ∠CBD = 90° - 80° = 10°. Оскільки ВС = CD, то △BCD — рівнобедрений і ∠CDB = ∠CBD = 10°, ∠C = 180° - 2∠CBD, AC = 180° - 20° = 160°. ∠BDA = ∠CBD = 10°, як внутрішні різносторонні кути при ВС ∥ AD та січній BD. ∠CDA = ∠CDB + ∠BDA, ∠CDA = 10° + 10° = 20°.

У трапеції ABCD ВС = 6 см, ВМ ∥ AD, РABM = 16 см. ВМ ∥ CD, ВС ∥ MD, тоді BCDM — паралелограм, отже, MD = ВС, ВМ = CD. РABCD = АВ + ВС + CD + AD. AD = AM + MD; РABM = АВ + ВМ + АМ. Тоді РABCD = AB + BC + AD + AM + MD = AB + CD + AM + BC + MD = AB + BM + AM + BC + BC = PABM + 2BC. Отже, РABCD = 16 + 2 • 6 = 28 (см).

CE ∥ AB, тоді ∠A = ∠CED, як відповідні кути при АВ ∥ СЕ та січній AD. У △CED ∠D = 35°, ∠DCE = 65°, тоді ∠CED = 180° - (∠D + ∠DCE) = 180° - (35° + 65°) = 80°. Отже, ∠А = 80°. ∠В = 180° - ∠А як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції, ∠В = 180° - 80° = 100°. ∠BCD = 180° - ∠D як прилеглі до бічної сторони CD, ∠BCD = 180° - 35° = 145°. Отже, кути трапеції: 80°, 100°, 145°, 35°.


15