ГДЗ до підручника «Геометрія» А.Г. Мерзляка. 8 клас

У △АВС АВ = ВС, NM ∥ AC, NM — середня лінія, NM = 6 см, тоді АС = 6 • 2 = 12 (см). Р△АВС = АВ + ВС + АС = 4 см. АВ + ВС + 12 = 46, АВ = ВС. Звідси 2АВ = 34, АВ = 17 (см). Отже, АВ = ВС = 16 см, АС = 12 см.

BM ⊥ NZ, AK ⊥ NZ, CP ⊥ NZ, тоді △BMN = △AKN як прямокутні за гіпотенузою. BN = AN (за умовою N — середина АВ). ∠BNM = ∠ANK (вертикальні). Звідси ВМ = АК. Аналогічно △BMZ = △CPZ і звідси ВМ = СР. Отже, ВМ = AL = CZ.

За умовою AM = 3ВМ, тоді розіб’ємо AM на 3 рівні частини точками О і L так, що L лежить між О і М. Тоді LM = ВМ, a AL = LB, отже, L — середина АВ. За умовою СК = 3ВК, тоді розіб’ємо ВС на 3 рівні частини точками N і Р так, що N лежить між К і Р. Тоді KN = ВК, NB = NC, N — середина ВС. Тоді LN — середня лінія △АВС, за її властивістю

У △АВС ∠DAB і ∠ЕСВ — зовнішні, AM і СК — бісектриси цих кутів, ВМ ⊥ АМ, ВК ⊥ СК. Нехай промінь ВМ перетинає DE в точці О, а промінь ВК — в точці Р. У △ОАВ AM — бісектриса і висота, тому △ОАВ — рівнобедрений і АО = АВ. У △BCР СК — бісектриса і висота, тому △ВСР — рівнобедрений і СР = ВС. Тоді РABC = АВ + ВС + АС = АО + АС + СР = ОР, що за умовою дорівнює 18 см. Оскільки AM — висота рівнобедреного △ОАВ, проведена до основи, то AM і медіана, М — середина ОВ. Аналогічно СК — медіана, тому К — середина ВР. Тоді МК — середня лінія △ОВР, МК = 1/2ОР, МК = 18 см : 2 = 9 см.

Позначимо на площині точки К, L і М, що не лежать на одній прямій (середини сторін шуканого трикутника). З’єднайте послідовно ці точки. Сторони △KLM — середні лінії шуканого △АВС. Через т. М проведемо пряму, паралельну до KL, а через т. К — пряму, паралельну до ML. Точку їх перетину позначимо А. Через т. L проведемо пряму, паралельну до КМ. Точки їх перетину з АК і AM позначимо В і С. З’єднаємо послідовно точки А, В і С. △АВС — шуканий.

209. Позначимо точки К, L і М, що не лежать на одній прямій та є серединами трьох сторін паралелограма. З’єднаємо відрізком точки L і М. Проведемо через т. К прямуl, паралельну до LM. Побудуємо середину відрізка LM — т. О. Через точки К і О проведемо пряму. Через т. L проведіть пряму, паралельну до КО, її точки перетину з прямою l позначимо В. Через т. М проведемо пряму, паралельну до КО, а її точку перетину з прямою l позначимо А. Проведемо пряму ВО, її точку перетину з AM позначимо D. Проведемо пряму AО, її точку перетину з BL позначте С. З’єднаємо послідовно точки А, В, C i D.

Чотирикутник ABCD — шуканий паралелограм.

Нехай М — середина сторони АВ, N — середина сторони AD, Т — середина діагоналі AC. MP ⊥ CD, a ∩ CD = P, NQ ⊥ ВС, a ∩ BC = Q.

Розглянемо △АВD. MN — середня лінія △АВD. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: MN ∥ BD. Розглянемо △АВС. МТ — середня лінія △АВС, MT ∥ ВС. Розглянемо △ACD. NT — середня лінія △ACD, NT ∥ CD. Тому висоти трикутника MNT належать прямим AC, NQ і МР. Тому ці прямі перетинаються в одній точці.

211. ABCD — опуклий чотирикутник, АВ = CD, О — середина діагоналі АС, Е — середина діагоналі BD. Пряма ОЕ перетинає АВ в точці М, а пряму CD — в точці N. Позначимо середину сторони ВС

Оскільки КО ∥ ВА, то ∠ВМО = ∠КОЕ, як відповідні при КО ∥ ВА та січній MN. Оскільки КЕ ∥ CD, то ∠КЕО = ∠CNM, як відповідні при КЕ ∥ CN та січній MN. Тоді ∠BMN = ∠CNM.

∠СОВ = ∠OBD, а ці кути — внутрішні різносторонні при прямих ОС, BD і січній ОВ. Оскільки ∠СОВ = ∠OBD, то СО ∥ DB.

△ABC — рівнобедрений, ∠В = 32°, тоді ∠BAC = ∠ВСА = (180° - 32°) : 2 = 74°. АК — бісектриса ∠BAC, тому ∠ВАК = ∠KAC = 74° : 2 = 37°. AB ∥ KM, АК — січна, ∠ВАК = ∠AKM як внутрішні різносторонні при AB ∥ КМ і січній АК. Якщо ∠ВАК = 37°, то ∠АКМ = 37°.

△СВD — прямокутний і рівнобедрений, ВК ⊥ CD. ВК — висота і медіана, і бісектриса. △ВКС — прямокутний, ∠KBC = ∠КСВ = 45°, тому △ВКС — рівнобедрений, ВК = КС = 4 см. DC = 2 • КС = 2 • 4 = 8 (см).


15