ГДЗ до підручника «Геометрія» О.С. Істера. 8 клас
Завдання для перевірки знань до § 1-5
1. У чотирикутника MNPL діагоналями є: MP i NL.
2. Сусідні кути до даного кута паралелограма дорівнюють по 180° - 80° = 100°. Четвертий кут даного паралелограма є протилежними до кута 80° і згідно з властивістю кутів паралелограма дорівнює 80°. Отже, кути паралелограма дорівнюють: 100°, 80°, 100°, 80°.
Відповідь: 100°, 80°, 100°, 80°.
3. Периметр квадрата дорівнює 7 см • 4 = 28 см.
Відповідь: 28 см.
4. Нехай х см — менша сторона, тоді (х + 1) см — більша сторона. Отримуємо рівняння: (х + х + 1) • 2 = 18; х + х + 1 = 9; 2х + 1 = 9; 2х = 8; х = 4, тоді х + 1 = 5. Оскільки протилежні сторони прямокутника рівні, то сторони даного прямокутника дорівнюють 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.
Відповідь: 4 см; 5 см; 4 см; 5 см.
5. У ромбі ABCD ∠ABD = 50°, тоді ∠АВС = 2∠ABD = 2 • 50° = 100° — за властивістю кутів ромба.
∠BAD = 180° - ∠АВС = 180° - 100° = 80°. Оскільки протилежні кути рівні, то в ромбі ABCD ∠А = 80°, ∠В = 100°, ∠С = 80°, ∠D = 100°.
Відповідь: ∠А = 80°, ∠В = 100°, ∠С = 80°, ∠D = 100°.
6. Оскільки ∠ABD = ∠CDB — за умовою і ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих АВ і CD та січній BD, то АВ ∥ CD. Оскільки АВ ∥ CD і АВ = DC, то за ознакою паралелограма маємо: ABCD — паралелограм.
7. Позначимо кути даного чотирикутника 2х°, 3х°, 4х° і 6х°. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 360°, то 2х + 3х + 4х + 6х = 360. Отримуємо: 15х = 360; х = 24. Тоді 2х° = 48°; 3х° = 72°; 4х° = 96°; 8х° = 144°. У чотирикутнику всі кути менші від розгорнутого. Отже, він опуклий.
Відповідь: 48°; 72°; 96°; 144°. Опуклий.
8. У ромбі ABCD AM ⟂ CD, АК ⟂ ВС, ∠КАМ = 120°. Із чотирикутника МАКС, у якому два кути прямі, третій дорівнює 120°, знаходимо: ∠КСМ = 360° - 2 • 90° - 120° = 60°. Звідси за властивістю протилежних кутів ромба ∠BAD = ∠BCD = 60°. За властивістю сусідніх кутів ромба маємо ∠ABC = ∠ADC = 180° - 60° = 120°, отже, кути ромба: 120°, 60°, 120°, 60°.
Відповідь: 120°, 60°, 120°, 60°.
9. Нехай у паралелограмі ABCD АК — бісектриса кута А паралелограма. Нехай ВК = 4х см, КС = 3х см. Оскільки ABCD — паралелограм, то ВС ∥ AD, АК — січна при прямих ВС і AD. Отже, ∠AKB = ∠KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих і січній. Тоді трикутник АКВ — рівнобедрений з основою AК, оскільки ∠ВАК = ∠ВКА. ВК = АВ = 4х см, ВС = 7х см. Оскільки периметр паралелограма дорівнює 88 см, то маємо рівняння: 2(4х + 7х) = 88, тоді 11х = 44, х = 4. Отже, сторони паралелограма дорівнюють AB = CD = 16 см, AD = ВС = 28 см.
Відповідь: 16 см, 28 см, 16 см, 28 см.
Додаткові завдання
10. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник, у якому ∠A = 90°, АС = АВ, KLMN — прямокутник. ВС = 23 см.
У трикутнику АВС ∠C = ∠B = 45°, оскільки цей трикутник рівнобедрений. Отже, у трикутнику BKN, де ∠BKN = 90° (оскільки KLMN — прямокутник), теж ∠BNK = ∠KBN = 45°. Таким чином, трикутник BKN — рівнобедрений, ВК = KN. Аналогічно в трикутнику LMC, де ∠MLC = 90°, ∠LMC = ∠C = 45° і LM = LС.Оскільки ВС = 23 см, то KN = (23 - 2) : 3 = 7 (см), KL = KN + 2 = 9 (см). Отже, PKLMN = 2(7 + 9) = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
11. Нехай ABCD — ромб, у якого ВМ ⟂ AD, тобто ВМ — висота, ∠DВМ = 30°. Із трикутника DBM маємо: ∠BDM = 90° - ∠DBM = 90° - 30° = 60°.
Оскільки трикутник ABD — рівнобедрений, то ∠ABD = 60°. Тоді ∠A = 180° - 60° = 60° = 60°. Оскільки трикутник ABD є рівностороннім і за умовою РABCD = 40 см, то АВ = 10 см, і тоді менша діагональ ромба дорівнюватиме 10 см.
Відповідь: 10 см.
