ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

81. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то ABCD — паралелограм. Нехай ∠С = х°, тоді ∠А = 3х°, з властивості сусідніх кутів паралелограма маємо х + 3х = 1850°; 4х = 180°; х = 45°. ∠D = ∠В = 45°, ∠С = ∠А = 3 • 45°= 135°.

Відповідь: 45°, 45°, 135°, 135°.

В чотирикутнику AB1CD1: АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма ABCD. B1O = D1O (як половини рівних відрізів ВО і DO). Отже, діагоналі чотирикутника AB1CD1 точкою перетину діляться навпіл, тому AB1CD1 — паралелограм.

84. На горизонтальній лінійці відкладаємо відрізок певної довжини, потім піднімаємо її вгору і зсуваємо, наприклад, праворуч і знову відкладаємо такий самий відрізок. З’єднавши послідовно всі чотири вершини, отримаємо паралелограм.

85. AB = CD, AD = ВС, тоді ABCD — паралелограм; AB ∥ CD, a AB розташована вертикально.

86. а) △ВОС і △DOA: ОС = АО за умовою; ∠BOC = ∠DOА (вертикальні); ∠BCA = ∠DAC (внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD).

△ВОС = △DOA за стороною і двома прилеглими кутами; ВС = AD.

Маємо: BC ∥ AD, BC = AD, отже, ABCD — паралелограм.

Проведемо діагональ AС. Нехай О — точка перетину АС і BD.

Маємо АО = ОС, ЕО = OF (AECF — паралелограм). Отже, BO = OD (DO = BE + ЕО, OD = DF + OF, a BE = DF, EO = OF). Оскільки діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.

87. a) ∠BCA = ∠DAC (внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD і січній АС); ВС ∥ AD. ∠ВАС = ∠DCA (оскільки в трикутниках два кути рівні, то і треті кути рівні між собою). АС — спільна; △АВС = △CDА за стороною і двома прилеглими кутами; ВС = AD.

Маємо ВС ∥ AD, BC = AD; ABCD — паралелограм.

ВС ∥ AD за умовою. ВС = ЕС - ЕВ, AD = AF - DF. Оскільки EC = AF як протилежні сторони паралелограма, ВС ∥ AD. BC = AD, отже, ABCD — паралелограм.

∠B = ∠D. Отже, їх бісектриси відітнуть рівні відрізки від АС, а якщо АЕ = FC, тоді BEFD — паралелограм.

90. а) Розглянемо паралелограм KLMN.

LM = LX + XM, KN = NY + KY. Оскільки LM = KN (за означенням паралелограма), ХМ = KY (за умовою), то LX = YN. LX ∥ YN (лежать на протилежних сторонах паралелограма). Тому LXNY — паралелограм; LY = XN i AB ∥ CD. Аналогічно можна довести, що ВС ∥ AD; ABCD — паралелограм,

б) Розглянемо паралелограм KLMN.

LP = QN (за умовою), LP ∥ QN (лежать на протилежних сторонах паралелограма); QLPN — паралелограм. ∠LMN = ∠LMZ + ∠ZMN, ∠LKN = ∠NKF + ∠LKF. Оскільки ∠LMN = ∠LKN (протилежні кути паралелограма) ∠LMZ = ∠NKF (за умовою). Отже, ∠ZMN = ∠LKF, а ∠ZKF = ∠NFK (внутрішні різносторонні); ∠ZMN = ∠KFN; ZM ∥ KF.

Маємо: АВ ∥ CD, ВС ∥ AD; ABCD — паралелограм.