ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
§ 3. Ознаки паралелограма
DE ∥ KF, EF ∥ DK. Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.
Оскільки протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то KLMN — паралелограм, тому ∠K = ∠M, ∠L = ∠N як протилежні кути паралелограма.
Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то PRSQ — паралелограм, тому ∠R + ∠S= 180° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.
72. 1) АВ = CD; ABCD — паралелограм.
2) ВС ∥ AD; ABCD — паралелограм.
73. Чотирикутник ABCD не може бути паралелограмом, оскільки ∠A ≠ ∠C. Згідно властивості паралелограма: протилежні кути паралелограма рівні.
74. а) Необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл;
б) Необхідно, щоб їхня сума дорівнювала 180°;
в) Достатньо, щоб чотирикутник ABCD був паралелограмом.
75. а) Оскільки ВС ∥ AD, ВС = AD, то ABCD — паралелограм (згідно ознаки паралелограма).
б) Так, точки М, С і D лежать на одній прямій. Чотирикутник АВМС — паралелограм.
а) Оскільки діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.
б) Чотирикутник ABDM — паралелограм, точки М, С і D лежать на одній прямій.
77. Нехай ABCD — чотирикутник. За умовою АО = 4 см; ОС = 40 мм = 4 см; BD = 1,2 дм; OD = 6 см. Так як АО = ОС = 4 см i OD = ВО = 6 см, тобто діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.
78. а) Нехай ABCD — даний чотирикутник. Так як ∠BAC = ∠DCA і ∠CAD = ∠ВСА, то ВС ∥ AD і АВ ∥ CD. Так як △АВС = △ADC за стороною і двома прилеглими кутами, то маємо ВС = AD і АВ = CD. Тобто ABCD — паралелограм за ознаками.
б) Нехай ABCD — чотирикутник. Так як ВС = AD, ∠CBD = ∠ABD за умовою, то за ознаками ABCD — паралелограм.
79. а) З рівності △АОВ і △COD випливає АО = ОС, BO = OD.
Оскільки діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то чотирикутник — паралелограм.
б) ∠CAD = ∠АСВ (внутрішні різносторонні); АD ∥ ВС.
∠ABD = ∠CDA (внутрішні різносторонні); АВ ∥ CD.
Оскільки сторони чотирикутника попарно паралельні, то він є паралелограмом.
80. Оскільки АВ ∥ CD і АВ = CD, то ABCD — паралелограм. Отже, РABCD = 2 • (AD + AB) = 2 • (4 + 9) = 26 см.
Відповідь: 26 см.