ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

91. а) Розглянемо паралелограм AECF.

EC ∥ АF за властивістю протилежних сторін паралелограма; NС ∥ AK, a NC = AK за умовою, отже, ANСК теж є паралелограмом; AN ∥ CK; AB ∥ СD.

Розглянемо чотирикутник АМСР: AM ∥ CP, AM = АЕ - ME, CP = CF - PF, оскільки АЕ = CF за властивістю протилежних сторін паралелограма, а ME = PF за умовою, то AM = СР. А це означає, що АМСР — паралелограм; МС = АР = ВС ∥ AD. Отже, маємо АВ ∥ CD і ВС ∥ AD, тому ABCD — паралелограм за означенням.

б) Розглянемо паралелограм KLMN.

LM ∥ KN за властивістю протилежних сторін паралелограма; YM ∥ KF. ∠LYK = ∠YKN (внутрішні різносторонні, а ∠LYK = ∠MFN за умовою, тому ∠YKN = ∠MFN, а вони є відповідними при прямих YK і MF і січній KF; KYMF — паралелограм; KY ∥ FM; ВС ∥ AD. ∠ZLM = ∠KLM - ∠KLZ ∠KNX = ∠KNM - ∠XNM.

∠KLM = ∠KNM (протилежні кути паралелограма).

∠KLZ = ∠XNM (за умовою).

Отже, ∠ZLM = ∠KNX. Але ∠ZLM = ∠LZK (внутрішні різносторонні); ∠LZK = ∠KNX, а вони є відповідними при прямих LZ і XN і січній KN; LZ ∥ XN; АВ ∥ СD.

Маємо: ВС ∥ AD, АВ ∥ CD, отже, ABCD — паралелограм за означенням.

92. Розглянемо чотирикутник ABCD.

За властивістю кутів чотирикутника ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, а за умовою ∠A = ∠C, ∠C = ∠D, маємо: ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 360° : 2 = 180°, але ∠A і ∠B є внутрішніми односторонніми при прямих AD і ВС і січній АВ, тому АВ ∥ ВС. Аналогічно доводимо, що АВ ∥ CD, тому за означенням ABCD — паралелограм.

93. ∠A — даний кут, а О — точка всередині цього кута.

Проведемо промінь АО і відкладемо на ньому ОС = ОА.

Через т. С проведемо прямі СВ і CD паралельні сторонам ∠A, BD — шуканий відрізок.

ABCD — паралелограм, оскільки СВ ∥ AD с АВ ∥ CD. Тому BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма.

94. Через точку М проведемо прямі, паралельні сторонам кута, отримаємо точки В і С, МВАС — паралелограм, ВС — діагональ.

Розділимо навпіл відрізок ВС, отримаємо точку О — точку перетину діагоналей. Проведемо луч МО — шуканий.

△NOA = △QOB (за другою ознакою). Отже, АС = ВС, △АВС — рівнобедрений.

Оскільки АВ ⟂ ВС, DC ⟂ BC, то АВ ∥ DC. За умовою АС ∥ BD. Отже, ABDC — паралелограм, ВС — діагональ паралелограма. Звідси маємо △АВС = △DBC.