Завдання 61-68 - ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай у паралелограма ABCD BD ⟂ АВ і BD = 2АВ. Оскільки в прямокутному трикутнику ABD BD = 2АВ, то ∠BDA = 30°, ∠А = 60°. Тоді ∠ABC = 180° - ∠А = 180° - 60° = 120°, ∠BCD = 60°, ∠ADC = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.

62. ABCD — паралелограм. Розглянемо два випадки:

Нехай ∠А = ∠С = 90°, АВ = AD, ВС = CD. Тоді ∠ABC = ∠ADC = 180° - 90° = 90°. Отже, кути паралелограма дорівнюють: 90°, 90°, 90°, 90°.

Нехай ∠ABD = ∠BDC = 90°, АВ = BD = CD. Оскільки △АВD — прямокутний і рівнобедрений, то ∠А = ∠BDA = (180° - 90°) : 2 = 45°, ∠C = 45°. ∠ABC = ∠ADC = 180° - ∠А =180° - 45° = 135°. Отже, кути паралелограма дорівнюють 45°, 135°, 45°, 135°.

Оскільки ∠А = ∠С, то ∠1 = ∠2 (як половини рівних кутів). Оскільки ВС ∥ AD, то ∠1 = ∠3 (як внутрішні різносторонні), ∠1 = ∠2 i ∠1 = ∠3, то ∠2 = ∠3. Оскільки ∠2 і ∠3 — відповідні кути при прямих АК і LC та січній AL і ∠2 = ∠3, то АК ∥ СК. Отже, бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або лежать на одній прямій.

Нехай ABCD — даний паралелограм, ВН₂ і ВН₂ — його висоти, H₁ є AD, Н₂ є CD. Нехай ∠BAH₁ = α, тоді з △ВН₁А за теоремою про суму кутів трикутника ∠ABH₁ = 90° - α. Аналогічно з ∠ВH₁С маємо: ∠ВСН₂ = α, ∠СВН₂ = 90° - α.

Розглянемо ∠ABC, за властивістю сусідніх кутів паралелограма ∠AВС = 180° - α. З іншого боку ∠ABC = ∠АВН₁ + ∠H₁BH₂ + ∠H₂BC.

Звідси маємо: 90° - α + ∠Н₁BH₂ + 90° - α = 180° - α; ∠Н₁ВН₂ = 180° - α - 90° + α = α. Отже, кут між висотами паралелограма, проведеними з однієї вершини, дорівнює куту паралелограма при сусідній вершині.

Нехай ABCD — паралелограм. AC ⟂ BD, О — точка перетину його діагоналей.

∠АОВ = ∠СОВ = 90° за умовою; АО = ОС за властивістю паралелограма; ВО — спільна, △АОВ = △СOD; за двома катетами; АВ = ВС як відповідні сторони рівних трикутників. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі сторони рівні. Обернене твердження: якщо всі сторони паралелограма рівні, то його діагоналі перпендикулярні.

△АОВ = △СОВ за трьома сторонами (АВ = ВС за умовою; АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма; ВО — спільна). ∠AOB = ∠COB, але вони є суміжними, тому ∠AOB = ∠COB = 180° : 2 = 90°; AC ⟂ BD.