ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Нехай ABCD — паралелограм, AM — бісектриса ∠BAD, ∠BMA = 35°. ∠MAD = ∠BA = 35° (внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD). Отже, ∠BAD = 2 • ∠MAD = 2 • 35° = 70°. ∠ABC = 180° - 70° = 110° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

Відповідь: 70°, 110°, 70°, 110°.

б) Нехай ABCD — паралелограм. ВН — висота (BH ⟂ AD), ∠АВН = 42°.

З △АНВ за теоремою про суму кутів трикутника: ∠BAH = 90° - 42° = 48°.

∠ABC = 180° - 48° = 132° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

Відповідь: 48°, 48°, 132°, 132°.

а) Нехай АВСD — паралелограм.

АВ = ВС = CD = AD, ∠ACD = 25°.

△АDС — рівнобедрений (AD = DC за умовою), отже. ∠CAD = ∠ACD = 25°, ∠ADC = 180° - 2 • 25° = 130° за теоремою про суму кутів трикутника, ∠BAD = 180° - 130° = 50° за властивістю кутів паралелограма.

Відповідь: 50°, 50°, 130°, 130°.

Нехай ABCD — паралелограм, ВН — його висота (ВН ⟂ AD), ∠АВН : ∠НВС = 1 : 3. Нехай ∠АВН = х, тоді ∠НВС = = 3х, ∠АВС = 4х. З △АНВ: ∠ВАН = 90° - х. За властивістю кутів паралелограма: ∠ВАН = 180° - 4х.

Маємо: 90° - х = 180° - 4х; 3х = 90°; х = 30°. Отже, ∠ВАН = 90° - 30° = 60°. ∠АВС= 4 • 30° = 120°.

Відповідь: 60°, 60°, 120°, 120°.

Нехай DH — бісектриса ∠ADC, ВН : НС = 1 : 4. Нехай ВН = х, тоді НС = 4х, маємо х + 4х = 15; 5х = 15; х = 3 см — ВН, СН = 4 • 3 = 12 cм. ∠CHD = ∠CDH (внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС); △DCH — рівнобедрений (DC = СН = 12 см).

PABCD = 2 • (DC + CB) = 2 • (15 + 12) = 54 см. Задача має єдиний розв’язок.

Відповідь: 54 см.

Нехай у паралелограма ABCD бісектриса ∠А перетинає сторону ВС і точці L.

Випадок 1. BL = 5 см, LC = 6 см. ∠1 = ∠2, оскільки AL — бісектриса кута A, ∠2 = ∠3 як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС і січній AL. Звідси ∠1 = ∠3, тобто за ознакою рівнобедреного трикутника, трикутник ABL — рівнобедрений, отже, АВ = BL = 5 см. ВС = BL + LC = 5 + 6 = 11 (см), PABCD = 2 • (5 + 11) = 2 • 16 = 32 (см).

Випадок 2. BL = 6 см, LC = 5 см. АВ = BL = 6 см, ВС = BL + LC = 6 + 5 = 11 (см). РABCD = 2 • (6 + 11) = 21 • 17 = 34 (см).

Відповідь: 32 см або 34 см.

Оскільки в паралелограмі ABCD АО = СО за властивістю діагоналей; ∠ЕСО = ∠FAO — внутрішні різносторонні; ∠ЕОС = ∠FOA — вертикальні, то △AOF = △FOA за другою ознакою рівності трикутників; ЕО = FO як відповідні сторони рівних трикутників.

За означенням паралелограм AD ∥ ВС, A1B ⟂ AD, DC1 ⟂ ВС. Отже, ВА1 ∥ DC1, ABCD — паралелограм.

58. За умовою ∠CNP = ∠APN, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих AD і ВС і січній NP; AD ∥ ВС. Аналогічно з рівності внутрішніх різносторонніх кутів ∠ВМК і ∠DKM випливає паралельність сторін АВ і CD. Отже, ABCD — паралелограм.

Рівень В

Нехай △АВС — рівносторонній (АВ = ВС = АС). М є ВС. MN ∥ АС, N є АВ і МК ∥ АВ, К є ВС.

Оскільки РАВС = 18 см, то АВ = ВС =АС = 6 см. ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∠BMN = ∠BCA = 60° — відповідні при прямих NM і АС і січній ВС. Тому △NBM — рівносторонній (MN = ВМ). ∠МКС = ∠ВАС = 60° — відповідні при прямих АВ і КМ і січній АС. Тому △KMC — рівносторонній (KM = MC). Отже, маємо: NM + KM = BM + MC = BC = 6 cм. PAMNK = 2 • (MN + MK) = 2 • 6 = 12 cм.

Відповідь: 12 см.

І випадок. Нехай АК і DL — бісектриси кутів А і D паралелограма ABCD, ВК = 5 cм, KL = 3 cм, LC = 5 см.

Оскільки △АВК і △DCL — рівнобедрені, то CD = АВ = 5 см, Тоді РABCD = 2 • (АВ + ВС) = 2 • (5 + 5 + 3 + 5) = 36 (см).

II випадок. Нехай АК і DL — бісектриси кутів А і D паралелограма ABCD, BL = 5 см, LK = 3 см, КС = 5 см. Оскільки △АВК — рівнобедрений, то АВ = BL = LK = 5 + 3 = 8 (см). Тоді РABCD = 2 • (АВ + ВС) = 2 • (8 + 5 + 3 + 5) = 42 (см).

Відповідь: 36 см або 42 см.