ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

521. а) 60n = 180n - 360°; 120n = 360°; n = 3;

б) 108n = 180n - 360°; 72n = 360°; n = 5;

в) 120n = 180n - 360°; 60n = 360°; n = 6.

522. Нехай в многокутнику n кутів, тоді 90° • n = 180°(n - 2); 90n = 180n - 360°; 90n = 360°; n = 4. Чотирикутник, у якого всі кути 90°, — прямокутник.

524. Сума зовнішніх і внутрішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині дорівнює 180° • n, тому сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині 180°n - 180°(n - 2) = 360°. Припустимо, що опуклий многокутник має чотири гострих кути, тоді відповідні їм зовнішні — тупі і їх сума більша за 360°, а це протиріччя. Отже, опуклий многокутник не може мати більш трьох гострих кутів.

n = 5; ∠A = ∠M = 90°.

180°(5 - 2) = 180° • 3 = 540°;

2) 540° - 2 • 90° = 540° - 180° = 360°.

Так як у п’ятикутнику всі сторони рівні, то △BCD — рівносторонній; ∠C = ∠CBD = ∠CDA = 60°. Тобто (360° - 60°) : 2 = 150°; ∠B = ∠D = 150°.

526. Нехай А1А2 ... Аn — даний многокутник.

За нерівністю трикутника А1A3 < А1А2 + А2A3, A1A4 < А1А3 + А3А4; А1А4 < А1А2 + А2А3 + А3А4. Аналогічно А1Аn < А1А2 + А2А3 + ... + Аn-1Аn. Отже, довжина будь-якої сторони многокутника менша за суму довжин решти сторін.

527. Нехай А1А2 ... Аk ... Аn — даний многокутник, периметр якого = 20 см.

Припустимо, що A1Ak = 10 см, тоді А1А2 + A2А3 + ... + Аk-1Аk > 10 см і АkАk+1 + ... + АnА1 > 10 см за результатами задачі 526, а це означає, що РA1...An > 20 см, а це суперечить умові.

528. Нехай ABCD — даний паралелограм, М — середина AB, EF ⟂ ВС.

Оскільки EF ⟂ ВС, в ВС ∥ АD, то EF ⟂ AD. Розглянемо △МЕВ і △МFА.

∠MEB = ∠MFA = 90°. AM = MB за умовою. ∠ЕМВ = ∠ЕМА — вертикальні. Тому ∠МЕВ = ∠MFA за гіпотенузою і гострим кутом.

Оскільки катет завжди коротший за гіпотенузу, то ВH1 < AB, ВН2 < ВС, DH3 < DC, DH4 < AD. Додавши ці нерівності, маємо: ВН1 + ВН2 + DH3 + DH4 < AB + BC + CD + AD = P.