ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
Розділ III. Многокутники. Площі многокутників
§ 15. Многокутник і його елементи
506. З однієї вершини семикутника виходить 4 діагоналі.
507. а) Діагональ шестикутника не може ділити його на два трикутники;
б) діагональ шестикутника може ділити його на два чотирикутники;
в) діагональ шестикутника може ділити його на трикутник і п’ятикутник.
508. Частина, що залишилась, має вигляд трикутника.
509. Сума кутів опуклого п’ятикутника дорівнює 180° • (5 - 2) = 180° • 3 = 540°.
а) Якщо 4 кути гострі (< 90°), то їх сума < 360° і п’ятий кут > 180° (не може).
б) Якщо 4 кути прями (90°), то їх сума дорівнює 360° і на п’ятий кут залишається 180° (не може).
в) Якщо 4 кути тупі (> 90°), то їх сума > 90° і на п’ятий кут залишається < 180° (може).
510. Оскільки сума кутів опуклого чотирикутника — 360°, а опуклого п’ятикутника — 540°, то такого бути не може, тому що інакше п’ятий кут дорівнює 180°.
511. А1А2А3А4А5 — п’ятикутник.
а) З однієї вершини виходить 2 діагоналі.
б) При попарному перетину діагоналей утворився п’ятикутник.
в) ∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ∠A4 + ∠A5 = 540°.
512. A1A2A3A4A5A6 — шестикутник.
а) Діагоналі A1A4, А2А5 і А3А6 ділять шестикутник на два чотирикутники.
б) Діагоналі А1А3, А2А4, А3А5, А4А6, А1А5, А2А6 ділять шестикутник на трикутник і п’ятикутник.
А = В + 2, де В — кількість кутів опуклого многокутника, А — сумарна кількість кутів, на які він ділиться діагоналлю.
513. а) 180° • (6 - 2) = 180° • 4 = 720°;
б) 180° • (12 - 2) = 180° • 10 = 1800°.
514. а) 540° = 180°(n - 2); n - 2 = 3; n = 5;
б) 900° = 180°(n - 2); n - 2 = 5; n = 7;
в) 1260° = 180°(n - 2); n - 2 = 7; n = 9.
515. n = 8; S8 = 180° • (8 - 2) = 180° • 6 = 1080°; 8α = 1080°; α = 1080° : 8 = 135°.
516. α1 = α2 = 90°, α3 = α4 = α5; n = 5.
517. α4 = α2 = α3 = α4 = α5 = 120°, тоді 180° • (6 - 2) = 180° • 4 = 720°. α6 = 720° - 5 • 120° = 720° - 600° = 120°. Отже, α6 = α1 =... = α5.
518. а) 180°(n - 2) = 1260°; n - 2 = 9; n = 11. Існує.
б) 180°(n - 2) = 1350°; n - 2 = 1350° : 180°; n - 2 = 7,5; n = 9,5. Не існує.
в) 180°(n - 2) = 1980°; n - 2 = 11; n = 13. Існує.
519. n = 5 + 4 - 2 = 7. S7 = 180° • (7 - 2) = 180° - 5 = 900°.
520. Нехай многокутник має n кутів, тоді сума трьох з них 3 • 80°, а сума решти (n - 3) • 160°, тобто сума всіх кутів 3 • 80° + (n - 3) • 1060°, а за формулою 180° (n - 2).
Складемо рівняння: 3 • 90° + (n - 3) • 160° = 180(n - 2); 240° + 160n = 480° = 180n - 360°; 20n = 120; n = 6.