ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
АВ — діаметр кола, a CD — хорда цього кола, які перетинаються в т. М. За теоремою про пропорційність відрізків хорди маємо: СМ • DM = AM • ВМК. За умовою DM = 3 см, СМ = 4 см. Нехай AM = х, тоді ВМ = 3х і 4 • 3 = х • 3х; 3х2 = 1 2; х2 = 4; х = 2 см.
За теоремою про пропорційність відрізків січної і дотичної маємо: АВ • АС = АМ2. АС = АВ + ВС = 4 + 5 = 9 (см), 4 • 9 = АМ2, АМ2 = 36, AM = 6 (см).
АО = 39 см, AM = 36 см. Проведемо радіус ОМ в точку дотику. За властивістю дотичної ОМ ⟂ AM. Отже, з △АМО за теоремою Піфагора АМ2 + МО2 = АО2; MO2 = AO2 - AM2 = 392 - 362 = 225; R = МО = 15 (см).
474. Нехай у △АВС ∠A = 90°. М є АВ, MN ⟂ BC, MN = AM = 8 см, АВ = 18 см.
Розглянемо △MNC і △МАС:
∠MNC = ∠MAC = 90°; MN = МА = 8 см за умовою; МС — спільна.
△МNC = △МАС за катетом і гіпотенузою, отже, ∠ACM = ∠NCM i СМ — бісектриса.
У ABC ∠A = 90°, M є AB, MN ⟂ ВС, MN = AM. △MNC = △МАС за катетом і гіпотенузою (з задачі № 474); NC = АС.
a) BN = 3 cм, NC = АС = 12 см, тоді за теоремою Піфагора АС2 + АВ2 = ВС2; 122 + АВ2 = (3 + 12)2; 144 + АВ2 = 225; АВ2 = 81; АВ = 9 см.
Р△ABC = АВ + ВС + АС = 9 + 15 + 12 = 36 (см).
б) BN = 12 см, NC = АС = 3 см, тоді за теоремою Піфагора: АС2 + АВ2 = ВС2; 32 + АВ2 = 152; 9 + АВ2 = 225; АВ2 = 216; АВ = 2√54 = 6√6 (см).
P△ABC = 6√6 + 15 + 3 = 6√6 + 18 (см).
У △АВС CD — висота.
За теоремою Піфагора з △CDA (∠D = 90°) АС2 = CD2 + AD2. З △CDB (∠D = 90°) ВС2 = CD2 + BD2. Знайдемо АС2 + ВС2, додавши обидві рівності: АС2 + ВС2 = CD2 + AD2 + CD2 + BD2 = AD2 + BD2 + 2CD2, але за умовою CD2 = AD • BD, отже, AC2 + BC2 = AD2 + BD2 + 2AD • BD = (AB + BD)2 = AB2. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо ∠ACB = 90°.
Нехай у △АВС АВ = BC, AD — висота. За теоремою Піфагора з △АDС: АС2 = АD2 + DС2, але АD2 = АВ2 - ВD2, АС2 = АВ2 - BD2 + DC2. Оскільки АВ = ВС = BD + DC, то АС2 = (BD + DC)2 - BD2 + DC2 = BD2 + 2BD • DC + DC2 - BD2 + DC2 = 2BD • DC + 2DC2 = 2DC(BD + DC) = 2DC • BC.
Нехай α, β і h — відповідно кути шуканого трикутника і висота, що проведена з вершини третього кута.
Побудуємо △A1BC1, де ∠A1 = α, ∠B1 = β. Проведемо СН1 ⟂ A1B1. На побудованій висоті відкладаємо CH = h.
Через Н проводимо пряму, паралельну A1B1. Точки А і В — точки перетину цієї прямої зі сторонами ∠C.
Послідовно з’єднуємо т. А, В і С.
△АВС — шуканий.
Нехай α — кут шуканого трикутника, l — його бісектриса і b : с = m : n, b і с — сторони, що утворюють кут α.
Будуємо △AB1C1 де ∠A = α, АВ1 = n, АС1 = m. Проведемо бісектрису AL1. Ha побудованій бісектрисі відкладаємо AL = l. Через L проводимо пряму, паралельну В1С1. Точки А і В — точки перетину цієї прямої зі сторонами ∠A.
З’єднуємо точки А, В і С.
△АВС — шуканий.
479. Нехай α i β — кути шуканого трикутника (α > β), l — бісектриса кута β.
Будуємо △A1BC1, де ∠A1 = α, ∠B = β.
Проводимо бісектрису ВК1.
На побудованій бісектрисі відкладаємо ВК = l.
Через т. К проводимо пряму, паралельну A1C1. Точки А і С — точки перетину цієї прямої зі сторонами ∠B.
З’єднуємо точки А, В і С.
△АВС — шуканий.
За нерівністю трикутника з △АВС маємо АВ + ВС > АС, а з △BCD: ВС + CD > BD. Додамо ці дві нерівності і використаємо те, що AD = ВС. Отже: АВ + ВС + CD + AD > AC + BD; P > AB + BD.
Нехай в △АВС ∠B = 10°, ∠C = 70°. АН — висота, AL — бісектриса. З △АНС: ∠C = 70°, ∠H = 90°, ∠HAC = 180° - (∠C + ∠H) = 180° - (70° + 90°) = 20°. ∠BAC = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - (10° + 70°) = 100°.
