ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 3

1. △АВЕ ~ △DCE за вдома кутами :∠АЕВ = ∠DEC (вертикальні); ∠ВАЕ = ∠CDE (внутрішні різносторонні при АВ ∥ CD і січній АD).

АВ = 5 см, PABCD = 34 см. РABCD = 2 • (АВ + ВС; 34 = 2 • (5 + ВС); ВС + 5 = 17; АС2 = АВ2 + ВС2; АС2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169; АС = 13 см.

3. Нехай а, b і с — сторони даного трикутника, а х — коефіцієнт пропорційності, тоді а = 21х, b = 20х, с = 29х.

Оскільки (21х)2 + (20х)2 = 441х2 + 400х2 = 841х2 = (29х)2, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник є прямокутним з гіпотенузою 29х.

АВ і АС — похилі, АН — перпендикуляр. Оскільки АС = 10 см, АВ = 17 см, то ВН > СН. Позначимо ВН = 5х, СН = 2х. За теоремою Піфагора АВ2 = АН2 + ВН2 і АС2 = АН2 + НС2, отже, АН2 = АВ2 - ВН2, АН2 = АС2 - НС2 і АВ2 - ВН2 = АС2 - НС2. 172 - (5х)2 = 102 - (2х)2; 289 - 25х2 = 100 - 4х2; 21х2 = 189; х2 = 9; х = 3; ВН = 5 • 3 = 15 см і АН2 = АВ2 - ВН2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64; АН = 8 см.

Нехай AB і CD — хорди, що перетинаються в т. М, причому АВ = CD.

∠АВС = ∠ADC (спираються на одну дугу). ∠АСВ = ∠DAC (спираються на рівні хорди); ∠ACD = ∠ВАС; △АМС — рівнобедрений і AM = МС, тому DM = MB.