ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

416. Нехай с2 = 2а2, за теоремою Піфагора с2 = а2 + b2, тоді а = b, отже, трикутник — рівнобедрений і його гострі кути дорівнюють по 45°.

417. Оскільки 62 + 82 = 102, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, трикутник прямокутний і його найбільший кут 90°.

418. Оскільки 32 + 42 = 52, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, кут між сторонами 3 см і 4 см = 90°. Тому даний паралелограм є прямокутником.

а) ВС — похила до АВ.

б) АС — проекція похилої ВС на пряму АС.

420. l1 і l2 — похилі, a1 і а2 — проекції цих похилих.

а) а1 < а2, l1 < l2; б) l1 = l2, а1 = а2.

421. Ні, не обов’язково, тільки якщо ці похилі проведені з однієї точки до прямої.

422. Можна провести дві рівні похилі з точки, яка не лежить на даній прямій.

△АВС — прямокутний, АВ = 3 см, АС = 4 см.

За теоремою Піфагора: ВС2 = АВ2 + АС2; ВС2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25; ВС = √25 = 5 см.

424. △АВС — отриманий. ∠A = 90°, АВ = 2,5 см, АС = 6 см, ВС = 6,5 см.

За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, 2,52 + 62 = 6,25 + 36 = 42,25; 6,52 = 42,25. Маємо: АВ2 + АС2 = ВС2; отже, ∠А = 90°.

425. а) с2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625; с = 5;

б) b2 = с2 - а2 = 92 - (√17)2 = 81 - 17 = 64; b = 8;

в) а2 = с2 - b2 = 62 - (3√3)2 = 36 - 27 = 9; а = 3.

ВС — проекція похилої на пряму l.

За теоремою Піфагора маємо: АВ2 + ВС2 = АС2.

а) АС2 = АВ2 + ВС2 = 402 + 92 = 1600 + 81 = 1681; АС = 41 см;

б) АВ2 = АС2 - ВС2 = 292 - 202 = 841 - 400 = 441; АВ = 21 см.

ABCD — даний прямокутник.

а) За теоремою Піфагора АВ2 + ВС2 = АС2; АС2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676; АС = 26 см.

б) За теоремою Піфагора ВС2 = АС2 - АВ2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64; ВС = 8 см.

РABCD = 2(АВ + ВС) = 2 • (6 + 8) = 2 • 14 = 28 (см).

△АВС: ∠A = 90°, AB = AC.

За теоремою Піфагора AB2 + AC2 = ВС2. Так як АВ = АС, то 2АВ2 = ВС2.

а) ВС2 = 2 • 42 = 2 • 16 = 32; ВС = √32 = 4√2 см. ВС2 = 2 • (2√2) = 2 • 8 = 16; ВС = 4 см. ВС2 = 2 • а2; ВС = √2а2 = а√2 см.

430. а) Оскільки 42 + 52 = 16 + 25 = 41 ≠ 62, то трикутник не прямокутний;

б) оскільки 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132, то трикутник прямокутний;

в) оскільки 22 + (√7)2 = 4 + 7 = 11 ≠ (√13)2, то трикутник не прямокутний;

г) оскільки (√10)2 + 62 = 10 + 36 = 46 ≠ 82, то трикутник не прямокутний.