ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
411. Нехай ABCD — даний паралелограм. К є BD, АК ⟂ BD, М — точка перетину ВС i АК.
412. Нехай ABCD — даний паралелограм, AN ⟂ CD, AM ⟂ ВС.
Отже, △MAN ~ △ABC за вдома сторонами і кутом між ними.
413. Якщо гіпотенуза і катет одного трикутника пропорційні гіпотенузі і катету іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
Розглянемо △АВС (∠A = 90°) і △A1B1C1 (∠A1 = 90°), причому АС = k • A1C1, ВС = k • B1C1.
414. Нехай ABC — даний трикутник (∠A = 90°), AD ⟂ ВС.
За умовою CD : BD = 1 : 7. Нехай х — коефіцієнт пропорційності, тоді CD = х, BD = 4х. За метричними відношеннями маємо: AD2 = CD • BD = х • 4х = 4х2; AD = 2х, а ВС = CD + BD = х + 4х = 5х. Отже,
415. Нехай АВС — прямокутний трикутник, вписаний в коло з центром О (∠B = 90°).
Тоді гіпотенуза АС є діаметром цього кола і АО = ОС = ВО. △АОВ — рівнобедрений (АО = OB); ∠OBA = ∠OAB = 36°, а ∠AОВ = 180° - 2 • 36° = 108°.
∠ВОС = 36° + 36° = 72° як зовнішній кут △AОВ при вершині А.
