ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
21. Нехай АВСВ — чотирикутник, ∠А = х, ∠В = у, ∠С = z, ∠D = k, маємо:
Отже, мінімальний кут чотирикутника дорівнює 60°.
Відповідь: 60°.
22. Нехай в чотирикутнику ABCD ∠A — гострий. Якщо всі інші кути — гострі, то їх сума менша за 360°. Якщо три кути трикутника прямі, то їх сума менша за 360°, отже, один з кутів чотирикутника тупий.
Нехай в чотирикутнику ABCD ∠B = ∠А + ∠C. Сума кутів чотирикутника 360°. У випадку, коли ∠B — гострий, тоді (∠A + ∠C) — гострий кут, тоді ∠А + ∠B + ∠C < 180°, отже, ∠B > 180°. Якщо ∠B = 90°, тоді ∠A + ∠C = 90°, ∠A + ∠B + ∠C = 180°, тоді ∠B = 360° - 180° = 180°, це неможливо, ∠B — тупий. Що й треба було довести.
Рівень В
Нехай у чотирикутнику ABCD ∠A = ∠B = ∠C = х, тоді ∠D = 3х - 240°. Маємо рівняння: х + х + х + 3х - 240° = 360°; 6х = 600°; х = 100°. Отже, ∠A = ∠B = ∠C = 100°, тоді ∠B = 300° - 240° = 60°.
Відповідь: 100°, 100°, 100°, 60°.
Нехай ABCD — опуклий чотирикутник, АС — діагональ. Якщо вершини В і D лежать по один бік від діагоналі АС, то АВСD — не опуклий чотирикутник, отже, В та D лежать по різні боки від АС. Відрізок BD перетинає АС.
Будь-який чотирикутник обмежує скінчену частину площини, яка називається внутрішньою областю.
Нехай XY — довільний відрізок з кінцями на сторонах цього опуклого чотирикутника. За означенням опуклий чотирикутник лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, отже, XY не перетинає жодну з його сторін і всі його точки лежать по один бік від будь-якої зі сторін чотирикутника. Відрізок XY лежить у внутрішній області цього чотирикутника.
Нехай ABCD — неопуклий чотирикутник. Проведемо відрізок BD. Розглянемо два трикутника △ABD і △BDC. Сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180°, тобто △ABD: ∠DAB + ∠ABD + ∠BDA = 180°; △BDC: ∠CDB + ∠DBC + ∠BCD = 180°.
В неопуклому чотирикутнику ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠A + (∠ABD + ∠DBC) + ∠C + (∠BDA - ∠CDB) = (∠A + ∠ABD + ∠BDA) + (∠DBC + ∠CDB + ∠C) = 180° + 180° = 360°, що й треба було довести.
Повторення перед вивченням § 2
30. а) Так як △KMN = △NРК за умовою, ∠PNK = ∠MKN — внутрішні різносторонні при прямих NP і МК і січній NK; МК ∥ NP.
б) Оскільки △KNM = △NPK, то ∠P = ∠M = 65°.
31. a) △MKN = △NPK за І ознакою рівності трикутників (МК = PN за умовою, ∠MKN = ∠PNK за умовою, NK — спільна). З рівності трикутників маємо ∠MNK = ∠PKN (внутрішні різносторонні); MN ∥ КР.
б) МN = КP = 14 см.