ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас

§ 8. Вписані й описані чотирикутники

245. В прямокутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін рівні, отже, якщо він є квадратом. Навколо ромба можна описати коло, якщо суми його протилежних кутів дорівнюють 180°, тому він є квадратом.

246. Якщо чотирикутник має лише один прямий кут, навколо нього не можна описати коло, тому що сума протилежних кутів повинна дорівнювати 180°, тому протилежний прямому кут теж 90°.

Якщо чотирикутник має два прямих кути, навколо нього можна описати коло, якщо ці кути протилежні.

247. Ні, трапеція повинна бути рівнобічною, а прямокутна трапеція рівнобічною бути не може.

248. Треба продовжити бічні сторони АВ і CD, точка М — буде точкою їх перетину.

249. Ні, оскільки суми протилежних сторін рівні і четверта сторона буде дорівнювати цим трьом, а це вже не буде трапеція. Описати коло навколо цієї трапеції можна, оскільки вона є рівнобічною.

250. ABCD — чотирикутник, вписаний в коло з центром О.

∠А = 110°, ∠B = 92°; ∠C = 180° - ∠A = 180° - 110° = 70°. ∠D = 180°- ∠B = 180° - 92° = 88°.

251. ABCD — чотирикутник, описаний навколо кола з центром О.

АВ = 3,8 см, ВС = 5,4 см, CD = 4,4 см. Оскільки АВ + CD = ВС + AD, то AD = (АВ + СD) - ВС = (3,8 + 4,4) - 5,4 = 2,8 см.

252. а) Ні, оскільки 90° + 20° ≠ 90° + 160°.

б) Так, оскільки 5° + 175° = 120° + 60°.

253. а) Нехай ∠A = 46°, ∠B = 125°, тоді ∠C = 180° - ∠A = 180° - 46° = 134°, ∠D = 180° - ∠B = 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 134°, 55°.

б) ABCD — вписана трапеція, ∠A = 80°, тоді ∠D = 80°, ∠B = ∠D = 180° - 80° = 100°.

Відповідь: 80, 100°, 100°.

в) Якщо діагоналі вписаного чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. Якщо паралелограм вписаний в коло, то він є прямокутником. Отже, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°.

Відповідь: 90°, 90°, 90°, 90°.

б) ABCD — вписана трапеція, тому вона рівнобічна (АВ = CD) і ∠В = ∠C; ∠A = ∠D. Maємo ∠B = ∠C = 230° : 2 = 115°, ∠A = ∠D = 180° - 115° = 65°.

Відповідь: 65°, 115°, 115°, 65°.

255. Нехай ABCD — прямокутник, вписаний в коло з центом О.

Оскільки ABCD — вписаний і дорівнює 90°, то він спирається на діаметр, аналогічно АС теж є діаметром. Оскільки діагоналі прямокутника є діаметрами кола, в який він вписано, то точкою їх перетину є саме центр кола.

Нехай А — даний гострий кут. С знаходиться всередині кута А. В, С належать його сторонам і ∠ADC = ∠ABC = 90°. Оскільки ∠ADC + ∠ABC = 90° + 90° = 180°, то навколо ABCD можна описати коло.

257. Нехай ABCD — чотирикутник, в якому ∠A + ∠C = ∠B + ∠D. Оскільки ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° в будь-якому чотирикутнику, то ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 360° : 2 = 180°, отже, навколо ABCD можна описати коло.

258. а) Нехай ABCD — описаний чотирикутник, в якому АВ = 7 см, ВС = 9 см, CD = 8 см. За властивістю описаного чотирикутника AB + CD = ВС + AD, тому 7 см + 8 см = 9 см + AD; AD = 6 см і Р_ABCD = 7 + 8 + 9 + 6 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

б) Нехай ABCD — описана трапеція, причому АВ = 3 см, CD = 11 см. За властивістю описаного чотирикутника АВ + CD = ВС + AD, тому ВС + ADF = 3 + 11 = 14 см і Р_ABCD = 14 + 14 = 28 (см).

Відповідь: 28 см.

259. Нехай ABCD — трапеція, описана навколо кола (АВ = CD), МН — її середня лінія.

а) Оскільки MN = 7 cм, то AD + BC = 2 • 7 = 14 см. Оскільки трапеція описана, то АВ + CD = AD + ВС = 14 см. Але АВ = CD за умовою, тому АВ = CD = 14 : 2 = 7 см.

Відповідь: 7 см.

б) Оскільки трапеція описана навколо кола, то АВ + CD = ВС + AD = Р : 2 = 16 : 2 = 8 см і MN = (AD + ВС) : 2 = 8 : 2 = 4 см.

Відповідь: 4 см.

260. Нехай ABCD — квадрат, описаний навколо кола з центром О і R = 3 см.