ГДЗ до підручника «Геометрія» А.П. Єршової. 8 клас
Нехай ◡АМВ і ◡CND — дуги одного кола з центром О, причому ◡АМВ = ◡CND. △AОВ = △COD: АО = ВО = СО = DO = R; ∠АОВ = ◡AMВ; ∠СОD = ◡CND; ∠АОВ = ∠COD; ∠АОВ = ∠COD за двома сторонами і кутом між ними; AB = CD як відповідні сторони рівних трикутників.
Нехай АВ — хорда кола з центром О. ◡ANB = 100°. Через т. А і В проведені дотичні до кола, які перетинаються в т. М. ∠AОВ = ◡ANB = 100°. Проведемо радіуси ОА и ОВ. За властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, ∠ОВМ = ∠ОAM = 90°. З △АОВ: AO = BO = R; ∠АОВ = ∠ОBА = (180° - 100°) : 2 = 40°. ∠АВМ = ∠ВАМ = 90° - 40° = 50°. З △АМВ маємо: ∠АМВ = 180° - (∠АВМ - ∠ВАМ) = 180° - (50° + 50°) = 80°.
Відповідь: 80°.
△АВС — прямокутний, ∠AВС = 90° як вписаний, який спирається на діаметр. Оскільки ∠А + ∠С = 90°, то маємо ∠А = 30°. Тому АС = 8 см як гіпотенуза, яка в 2 рази більша за катет прямокутного трикутника, який лежить проти кута в 30°.
Нехай в прямокутному △АВС ВО — медіана, АС = 2ВО = 18 см. △АВС — рівносторонній, ОВ = ОС = ВС = 9 см.
Нехай ∠EAF — гострий кут, вписаний в коло з центром О. Проведемо діаметр ВС. ∠ВАС = 90° (спирається на діаметр). ∠EAF < 90° (за умовою), тому ◡EF, на яку він спирається, < 180°, отже, А і EF лежать по різні боки від діаметра ВС; О знаходиться всередині △EAF.
∠MAN = 90° за умовою; ◡MN, на яку він спирається, > 180° і А і MN лежать по один бік від діаметр ВС; О лежить поза трикутником MAN.
Отже, кут із вершиною всередині кола, вимірюється пів сумою дуг, одна з яких міститься між сторонами цього кута, а інша — між їх продовженням.
Отже, кут між двома січними, які перетинаються зовні кола, вимірюються піврізницею більшої і меншої дуг, які містяться між його сторонами.
Будуємо коло діаметром АС, який дорівнює гіпотенузі. На відстані ВН, які дорівнює висоті трикутника, проведемо пряму ВВ1, яка паралельна АС, ця пряма перетинає коло в точках В і В1. Трикутники ABC і АВ1С — шукані.
Спочатку побудуємо рівнобедрений трикутник АВС, з основою АВ, яка дорівнює стороні шуканого трикутника, та даним кутом а при вершині протилежної основи. Навколо △АВС опишемо коло. Від прямої АВ на відстані h, що дорівнює висоті шуканого трикутника, будуємо пряму, паралельну АВ, яка перетне коло в точках C1 і С2. △AC1B і △АС2В — шукані трикутники.
241. ГМТ, із яких даний відрізок АВ видно під кутом α є дуги двох кіл, які спираються на АВ і дорівнюють α.
242. Нехай дано коло з центром О і А — точка поза цим колом.
Нехай через т. А побудовані дотичні до кола з центром О. В і С — точки дотику, тоді ∠ОВА = ∠OCA = 90° (за властивістю радіуса, проведеного в точку дотику). Тоді ∠PBA повинен спиратися на діаметр ОА.
1. З’єднуємо точки О i А і знаходимо O1 — середину відрізка ОА.
2. Будуємо коло з діаметром ОА.
3. Точки перетину цього кола з даним позначимо В і С. Вони і є точками дотику.
4. Проводимо дотичні АВ і АС.
Оскільки ∠ОВА і ∠ОСА спираються на діаметр ОА, то ∠ОВА = ∠ОСА = 90°. В i С лежать на даному колі, отже АВ і АС — дотичні.
243. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС).
В трикутник вписано коло з центром О. М і N — точки дотику кола із сторонами АВ і ВС. ∠ВАС = 40°. Оскільки △АВС рівнобедрений, ∠ВСА = ∠ВАС = 40°, то ∠АВС= 180° - (40° + 40°) = 100°. ∠ОМВ = ∠ONB = 90° (як радіуси, що проведені в точку дотику).
За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠MBN + ∠BNO + ∠NOM + ∠ОМВ = 360°. Отже, ∠NOM = 360° - (90° + 100° + 90°) = 80°.
Відповідь: 80°.
244. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС).
В △АВС вписано коло з центром О. М, N і К — точки дотику кола до сторін АВ, ВС, АС відповідно. AM = 8 см, ВМ = 9 см. AB = AM + BM = 8 + 9 = 17 (см). BC = AB = 17 cм (трикутник рівнобедрений). AM = AK = 8 см (за властивістю відрізків дотичних). Отже, АС = АК + КС = 8 + 8 = 16 (см). Маємо: P△АBC = АВ + ВС + АС = 17 + 17 + 16 = 50 (см).
Відповідь: 50 см.